Es la integración por partes válidos para este Sobolev función?

Question

Matemáticas personas:

Probablemente esto será fácil para alguien ahí fuera. He funciones $u \in C^\infty([0,1])$, $f \in L^1([0,1])$, y $h(t) = \int_0^t f(s)\,ds$. A continuación,$h \in W^{1,1}([0,1])$, ¿verdad? Me gustaría utilizar la integración por partes para la conclusión de

$$ \int_0^1 u(t) \frac{d}{dt}(h(t)^2)\,dt = u(t)(h(t))^2|^1_0-\int_0^1 u'(t)(h(t))^2\,dt. $$

Es esto válido? Me disculpo si este es un duplicado. He buscado por cuestiones similares, y no podía encontrar uno.

Answer 1

Para responder a su primera pregunta: Sí, $h \in W^{1,1}(0,1)$$h' = f$.

Para contestar a preguntas similares a su segundo, de la densidad de argumentos va a hacer un buen trabajo:

• Su afirmación se sostiene para suavizar $h$ (por ejemplo,$h \in C^\infty([0,1])$).
• Desde $W^{1,1}(0,1) \hookrightarrow C([0,1])$, todos los términos en su afirmación continua w.r.t. el $W^{1,1}(0,1)$-norma de $h$.
• Desde $C^\infty([0,1])$ es denso en $W^{1,1}(0,1)$ su afirmación de la siguiente manera.