Demostrando $\gcd \left(\frac{a}{\gcd (a,b)},\frac{b}{\gcd (a,b)}\right)=1$

Question

¿Cómo usted va sobre demostrando que $$\gcd \left(\frac{a}{\gcd (a,b)},\frac{b}{\gcd (a,b)}\right)=1$$

para cualesquiera dos enteros $a$$b$?

Intuitivamente es cierto porque cuando se divide $a$ $b$ $\gcd(a,b)$ cancelar los factores comunes entre ellos, lo que produce que se conviertan en coprime. Sin embargo, ¿cómo podría usted probar esto de manera rigurosa y matemáticamente?

Answer 1

Deje $d=\gcd(a,b)$. Deje $a=md$$b=nd$. Si algunos de $k\gt 1$ divide $m$$n$, $kd$ divide $a$ $kd$ divide $b$, contradiciendo el hecho de que $d$ es el mayor divisor común de a$a$$b$.

Answer 2

Muy simplemente se puede hacer de la siguiente manera: $gcd(a,b)=d$.

Ahora nos preguntamos si: $gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=e$$e>1$?

Bien, esto implica $e|\frac{a}{d},e|\frac{b}{d} \Rightarrow em=\frac{a}{d},en=\frac{b}{d} \Rightarrow dem=a,den=b \Rightarrow de$ es un divisor común de a$a,b$, que es mayor que $d$, por lo tanto una contradicción como $d$, por definición, se supone que como el $gcd$. Por lo tanto, $e=1$.

Answer 3

Este es un caso especial de la DPC distributiva de la ley ($3$ pruebas de que están por debajo). Es decir,

$$ \color{#c00}c = (a,b) = ((a/c)c,(b/c)c) = (a/c,b/c)\color{#c00}c\overset{\rm\large cancel\ \color{#c00}c}\Rightarrow 1 = (a/c,b/c)\qquad\qquad$$

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A continuación están los bocetos de las tres pruebas de la dpc distributiva de la ley de $\rm\:(ax,bx) = (a,b)x\:$ mediante el uso de diversos enfoques: la identidad de Bezout, el universal mcd de la propiedad, y la única factorización.

En primer lugar mostramos que el mcd distributiva de la ley se sigue inmediatamente del hecho de que, por Bezout, el mcd se puede especificar por medio de ecuaciones lineales. La distributividad de la siguiente manera porque tales ecuaciones lineales son preservadas por los cambios de escala. Es decir, para los naturales de $\rm\:a,b,c,x \ne 0$

$\rm\qquad\qquad \phantom{ \iff }\ \ \ \:\! c = (a,b) $

$\rm\qquad\qquad \iff\ \: c\:\ |\ \:a,\:b\ \ \ \ \ \ \&\ \ \ \ c\ =\ na\: +\: kb,\ \ \ $ $\rm\:n,k\in \mathbb Z$

$\rm\qquad\qquad \iff\ cx\ |\ ax,bx\ \ \ \&\ \ \ cx = nax + kbx,\ \,$ $\rm\:n,k\in \mathbb Z$

$\rm\qquad\qquad { \iff }\ \ cx = (ax,bx) $

El lector familiarizado con los ideales se nota que estas equivalencias son capturados de forma más concisa en la ley distributiva para el ideal de la multiplicación $\rm\:(a,b)(x) = (ax,bx),\:$ cuando se interpreta en un PID o Bezout de dominio, donde el ideal $\rm\:(a,b) = (c)\iff c = gcd(a,b)$

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Como alternativa, más en general, en cualquier parte integral de dominio $\rm\:D\:$ hemos

Teorema $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ax,bx)/x\ \ $ si $\rm\ (ax,bx)\ $ existe en $\rm\:D.$

Prueba de $\rm\quad\: c\ |\ a,b \iff cx\ |\ ax,bx \iff cx\ |\ (ax,bx) \iff c\ |\ (ax,bx)/x\ \ \ $ QED

La anterior prueba utiliza el universal definiciones de MCD, MCM, que a menudo sirve para simplificar las pruebas, por ejemplo, véase esta la prueba de que el MCD * LCM ley.

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Alternativamente, la comparación de potencias de números primos en el único factorizations, se reduce a la siguiente $$\begin{eqnarray} \min(a+x,\,b+x) &\,=\,& \min(a,b) + x\\ \rm expt\ analog\ of\ \ \ \gcd(a \,* x,\,b \,* x)&=&\rm \gcd(a,b)\,*x\end{eqnarray}\qquad\qquad\ \ $$

La prueba de ello es precisamente el mismo que el antes de la prueba, en sustitución de dpc por min, y se divide por $\,\le,\,$ y el uso de la característica universal de min en lugar de la de mcd, es decir,

$$\begin{eqnarray} {\rm employing}\quad\ c\le a,b&\iff& c\le \min(a,b)\\ \rm the\ analog\ of\quad\ c\ \, |\, \ a,b&\iff&\rm c\ \,|\,\ \gcd(a,b) \end{eqnarray}$$

Luego de la anterior prueba se traduce en

$\ \ c \le a,b \!\iff\! c\!+\!x \le a\!+\!x,b\!+\!x\!\iff\! c\!+\!x \le \min(a\!+\!x,b\!+\!x)\!\iff\! c \le \min(a\!+\!x,b\!+\!x)-x$

Answer 4

Deje $a,b$ tiene el primer factorisations:

$$a= \prod_{n=1}^\infty p_n^{\alpha_n} ,b=\prod_{n=1}^\infty p_n^{\beta _n}.$$

(Aquí se $(p_n)$ es la secuencia ascendente de los números primos). Entonces tenemos $$\gcd(a,b)=\prod_{n=1}^\infty p_n^{\min(\alpha_n,\beta_n)}, $$ and consequently $$\frac{a}{\gcd(a,b)}=\prod_{n=1}^\infty p_n^{\alpha_n-\min(\alpha_n,\beta_n)},\frac{b}{\gcd(a,b)}=\prod_{n=1}^\infty p_n^{\beta_n-\min(\alpha_n,\beta_n)}. $$ Ahora pregúntate, ¿podría ser que uno de los factores $p_n$ podría tener un estricto exponente positivo, en tanto de los últimos productos a la vez?

Answer 5

Asumir WLOG que $a, b \geq 1$. Deje $m = \dfrac{a}{gcd(a,b)}$, e $n = \dfrac{b}{gcd(a,b)}$, y deje $c = gcd(m,n)$. A continuación,$c |m$, e $c |n$. Esto significa: $(c\cdot gcd(a,b)) |a$, e $(c\cdot gcd(a,b)) |b$. Por lo $(c\cdot gcd(a,b)) | gcd(a,b)$. pero $gcd(a,b) |(c\cdot gcd(a,b))$. Por lo tanto: $c\cdot gcd(a,b) = gcd(a,b)$, y esto significa $c = 1$.