$f, g$ funciones enteras con $f^2 + g^2 \equiv 1 \implies \exists h $ entera con $f(z) = \cos(h(z))$ y $g(z) = \sin(h(z))$

Question

Estoy estudiando para un examen clasificatorio en análisis complejo y en este momento estoy resolviendo preguntas de exámenes antiguos. Estoy tratando de demostrar lo siguiente:

Probar que si $f$ y $g$ son funciones enteras tales que $f(z)^2 + g(z)^2 = 1$ para todo $z \in \mathbb{C}$, entonces existe una función entera $h$ tal que $f(z) = \cos(h(z))$ y $g(z) = \sin(h(z))$.

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Mi Intento

El enfoque que se me ocurrió es el siguiente. Dado que $f(z)^2 + g(z)^2 = 1$, entonces tenemos $(f(z) + ig(z))(f(z) - ig(z)) = 1$. Entonces cada factor no se anula en ningún lugar en $\mathbb{C}$ y así, por el "teorema del logaritmo holomorfo" sabemos que dado que $\mathbb{C}$ es simplemente conexo, existe una función holomorfa $H:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ tal que

$$e^{H(z)} = f(z) + ig(z)$$

y luego podemos escribir $\exp(H(z)) = \exp\left(i\dfrac{H(z)}{i} \right) = \exp(ih(z))$,

donde $h(z) := \dfrac{H(z)}{i}$.

Así que hasta ahora tenemos una función entera $h(z)$ que satisface

$$e^{ih(z)} = f(z) + ig(z)$$

Por otro lado, también sabemos que $e^{iz} = \cos{z} + i \sin{z}$ para cualquier $z \in \mathbb{C}$, por lo tanto vemos que

$$e^{ih(z)} = \cos{(h(z))} + i \sin{(h(z))} = f(z) + ig(z)$$

Así que en este punto me gustaría concluir de alguna manera que debe ser $f(z) = \cos(h(z))$ y $g(z) = \sin(h(z))$, pero no logro ver cómo y si esto es posible.

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Mis preguntas

1. ¿Es el enfoque que he delineado una forma correcta de proceder, y si es así, cómo puedo terminar mi argumento?
2. Si mi argumento no funciona, ¿cómo se puede demostrar esto?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Su enfoque parece ser correcto, y se puede terminar con el siguiente pensamiento: no solo se dividen los exponenciales complejos en combinaciones de funciones trigonométricas, sino que las funciones trigonométricas también se dividen en combinaciones de exponenciales complejos. De hecho:

$$\cos\alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\quad \sin\alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}.$$

Esto es aplicable no solo para $\alpha$ real, sino también para complejo. Has deducido $e^{ih(z)}=f(z)+ig(z)$ para alguna función entera $h$, y tomando inversas obtienes $e^{-ih(z)}=f(z)-ig(z)$, por lo que promediar estos dos te dará $\cos h(z)=f(z)$ (y de manera similar, $\sin h(z)=g(z)$).