¿Cuál es la mental-matemáticas que hay detrás de este pequeño bit? (Si yo uso normal de cálculo de fracción I de conseguir, pero mentalmente!)

Question

Para ser un hombre que sueña con estudiar medicina, un día, me duele preguntar algo así, porque me hace sentir como una completa idiota. De todos modos... $$1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$$

Puedo ir de la parte izquierda a la parte derecha, pero no de la otra manera. Yo no entiendo cuál es el truco está en ella. No es obvio para mí. Me llego un a través de esta reescritura mientras se hace la integración por partes.

Mental-matemáticas consejo para mí?

Answer 1

Es un truco muy común en matemáticas para sumar y restar algo, por ejemplo, $$x\longrightarrow (x-y)+y.$$ La idea de que la cantidad es la misma, pero se le da más condiciones posibles para manipular y (esperemos) y simplificar. En particular, esto puede ayudar con fracciones como la suya, $$\frac{x}{x+y}\longrightarrow\frac{(x+y)-y}{x+y}=\frac{x+y}{x+y}-\frac{y}{x+y}=1-\frac{y}{x+y}.$$ Mientras que para las fracciones lo general es fácil de ver lo $y$ es necesario para conseguir algo que es fácilmente divisible por el denominador, en general, la clave es saber cómo elegir el derecho $y$... pero yo no creo que haya otra cosa que la intuición (y la práctica) que puede ayudar con eso.

Answer 2

Sólo añadir cero en el numerador:

$$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{(1 - 1) + x^2}{1+x^2} = \frac{1+x^2}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$$

Answer 3

Esto es sólo la división polinómica: si $A(x)$ $B(x)$ son polinomios con $\deg(b) \ge 1$, $A(x)/B(x)$ siempre puede ser expresado como$Q(x) + R(x)/B(x)$,$\deg(R) < \deg(B)$.

¿Sabes cómo hacerlo?