Estoy buscando un par de contraejemplos con respecto a las secuencias de funciones que convergen pointwise. En primer lugar, hay una secuencia $f_{n}$ donde todas las funciones son diferenciables y cuyo límite $f$ es continua pero no diferenciable. El ejemplo que yo podía pensar de que se rompió la diferenciabilidad también rompió la continuidad. Segundo, hay una secuencia en la que $f_n$ es Riemann integrable para todos los $n$. pero $f$ no es Riemann integrable?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
sewo
Puntos
58
Sreeraj
Puntos
637
zwim
Puntos
91
Henning Makholm dio un ejemplo donde la derivada se discontinuos en $0$, este es un ejemplo donde la derivada se extiende hacia el infinito en los límites del dominio.
$f_n=\sqrt{1+\frac 1n-x^2}$ definido en $[-1,1]$.
Este es un semi-círculo de radio ligeramente mayor que $1$ $[-1,1]$ la función de $f_n$ es perfectamente diferenciable.
Pero el límite (el semi-círculo) de radio $1$ vertical semi-tangentes en $\pm 1$.
Para la integrabilidad de Riemann ¿por qué no tomar una función continua que tiene un Dirac como un límite?
$f_n:\begin{cases}\dfrac{(2n+1)!}{2^{2n+1}(n!)^2}(1-x^2)^n & x\in[-1,1]\\0 & \text{otherwise}\end{cases}$
Con $\displaystyle \int_{-1}^1f_n(t)\mathop{dt}=1$ pero $f$ no está limitado así que no es Riemann integrable.
Admito que a pesar de que $f$ no ser una función apropiada, puede que no encajan bien en el ejemplo de pointwise convergencia. Nightgap del ejemplo se cae en la misma área.
El indicador de rationnals dada por H. M es acotado, pero el $f_n$ no son muy continua de sí mismos.
Aunque no estoy seguro si hay un ejemplo intermedio entre el límite infinito y la nada continuos ejemplos...
Estoy pensando en cosas como $f_n(x)=\sin(\frac 1x)\times\chi_{[\frac 1n,1]}(x)$
