Método rápido /a vista de pájaro para determinar el valor

Question

Es allí cualquier manera de adivinar la respuesta sin hacer la elaboración de los cálculos?

Answer 1

Corregido después de un comentario de André Nicolas:

Tenemos $4^5=1024>1016$. Esto demuestra que $y$ sólo puede ser $1$, $2$ o $3$. Ahora si $y=3$, entonces a partir de la $3^2\times 3^5>1016$, los únicos valores posibles de $x$$1$$2$. Del mismo modo, si $y=2$, los únicos valores posibles de $x$$1,2,3,4,5$. Cómputo de los productos de $xy$ y compararlos con los valores propuestos en la pregunta, de estas siete opciones solo quedan dos: $(x,y)=(2,2)$$(x,y)=(5,2)$. La comprobación de $z^3$, de estas dos posibilidades, sólo queda una: $(x,y,z)=(5,2,6)$.

Ahora si $y=1$,$xy=x$, y todos tenemos que comprobar es: cual de los seis valores de entre $1016-(xy)^2$ son cubos. Esto le da a uno más triples $(x,y,z)=(4,1,10)$.

Así que los posibles valores de $xy$ (entre indicado)$4$$10$.

Answer 2

Las soluciones correctas son 4 y 10. Denotando $f(x,y,z) = x^2y^5 + z^3$,

x   y   z   f(x,y,z)   xy
5   2   6   1016       10
4   1   10  1016       4

Aquí está el código en PERL se utiliza para conseguir esto:

#!/usr/bin/perl -w

use strict;

my $z = 1;
my ($y5, $z3);

while (($z3 = $z**3) < 1016) {
    my $x2y5 = 1016 - $z3;
    my $y = 1;
    while (($y5 = $y ** 5) <= $x2y5) {
        next if $x2y5 % $y5;
        my $x2 = $x2y5 / $y5;
        if (int(sqrt($x2)) ** 2 == $x2) {
            my $x = int(sqrt($x2));
            print "($x, $y, $z) -> ", ($x**2) * ($y**5) + ($z**3), "; ", $x*$y, "\n";
        }
    } continue {
        $y++;
    }
} continue {
    $z++;
}