es este subconjunto de un subespacio - redux

Question

OK, he estado molestando a la gente de aquí con esto de los días y con la suerte de que por fin tengo este. Las personas han ayudado mucho hasta ahora. (Haciendo de estos ejemplos, espero que me ayuda a aprender de las pruebas, pero quiero saber que estoy haciendo este derecho).

Vamos a W es un subconjunto del espacio vectorial V. Es s el subespacio así?

W = {($a_1$, $a_2$, $a_3$) ∈ $ℝ^3$ : $2a_1 - 7a_2 + a_3=0$}

Así, para comprobar si esto es un subespacio tengo que cumplir con lo siguiente:

1. Que 0 está en el conjunto. Inversión (0,0,0) en la ecuación de $2a_1 - 7a_2 + a_3=0$ rendimientos 0=0, así que, sí, lo es.

2. Que es cerrado bajo la suma.

Vamos a ($b_1, b_2, b_3$) ser arbitraria vector en W.

Para que esto sea cerrado bajo la adición ($b_1, b_2, b_3$)+($a_1, a_2, a_3$) ∈ W.

$2(a_1+b_1) - 7(a_2+b_2) + (a_3+b_3) = 0$

también puede ser escrito como $(a_3+b_3) = -2(a_1+b_1) + 7(a_2+b_2)$

Hay un valor real de las soluciones a este, siempre que $b_i = -a_i$ es uno, así que la respuesta es sí, es cerrado bajo la suma.

1. Es cerrado bajo la multiplicación?

Cualquier λ($2a_1 - 7a_2 + a_3)=0 =(λ)0$

Así que desde que siendo parte del conjunto, es cerrado bajo la multiplicación.

Así que, hice este correctamente? Dios lo espero.

Answer 1

Excelente trabajo. Será mucho más fácil! Confía en mí.

Muy bien hecho. "Cubierto todas las bases", un poco torpemente, pero tienes el trabajo hecho!

Solo quisiera agregar: "por lo Tanto, (desde ${\bf 0} \in W$, e $W$ es cerrado bajo la adición de vectores y la multiplicación escalar,) $\;W\,$ es un subespacio de $\,V$.

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Esto es cómo me había enfoque de la "cerrado bajo la adición de componentes" de la prueba.

Deje $w_1 = (a_1, a_2, a_3), w_2 = (b_1, b_2, b_3) \in W$.

Por lo $2a_1 - 7 a_2 + a_3 = 0, \text{ and}\; 2b_1 - 7b_2 + b_3 = 0.$

Ahora, se deduce que el $w_1 + w_2 = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3).$

Y ya tenemos $$2(a_1+b_1) - 7(a_2+b_2) + (a_3+b_3)$$ $$ = 2a_1 + 2b_1 -7a_2 -7b_2 + a_3 + b_3 $$ $$ = (2a_1-7a_2+a_3)+(2b_1-7b_2+b_3) $$ $$ ={\bf 0 + 0} = {\bf 0}\in W$$

...$W$ es cerrado bajo la adición de vectores.

Answer 2

No estoy seguro de entender la prueba de que es cerrado bajo la suma (en concreto, el $b_i=-a_i$ parte parece como un caso especial, y no una prueba). Recomiendo el lugar que usted nota: $$\begin{align}2(a_1+b_1)-7(a_2+b_2)+(a_3+b_3) &= 2a_1+2b_1-7a_2-7b_2+a_3+b_3\\ &= (2a_1-7a_2+a_3)+(2b_1-7b_2+b_3)\\ &= \textbf{0}+\textbf{0}\\ &= \textbf{0}.\end{align}$$