Conjunto definido por $xy-zw=1$

Question

Esta debería ser una pregunta fácil, pero me ha parecido que no se puede visualizar...

¿Qué objeto geométrico está definido por la ecuación $xy-zw=1$ en $\mathbb R^4$ ? ¿Y cuál es el tipo de homotopía del complemento?

Answer 1

Es $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ Por supuesto. Como "objeto geométrico" se puede realizar de forma equivalente a la esfera unitaria $x^2 + y^2 - z^2 - w^2 = 1$ en $\mathbb{R}^{2,2}$ que lo exhibe (¿o quizás uno de sus componentes conectados?) como un espacio homogéneo para el grupo ortogonal $\text{O}(2, 2)$ . En particular, se le puede dar la estructura de un colector pseudo-riemanniano .

El complemento de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{2, 2}$ tiene dos componentes conectados $$X = \{ (x, y, z, w) : x^2 + y^2 - z^2 - w^2 > 1 \}$$ $$Y = \{ (x, y, z, w) : x^2 + y^2 - z^2 - w^2 < 1 \}.$$

$X$ deformación se retrae a través de la homotopía de línea recta $(x, y, (1-t)z, (1-t)w)$ a $\{ (x, y) : x^2 + y^2 > 1 \}$ que es equivalente en homotopía a $S^1$ .

$Y$ deformación se retrae a través de la homotopía de línea recta $((1-t)x, (1-t)y, z, w)$ a $\{ (z, w) : z^2 + w^2 > -1 \}$ , que es contraíble.

Answer 2

Es difícil visualizar una hipersuperficie tridimensional en 4 dimensiones. Pero quizás esta animación pueda ayudar, mostrando secciones transversales a diferentes valores de $w$ . Obsérvese que se trata de paraboloides hiperbólicos excepto en $w=0$ donde tienes un cilindro hiperbólico.

http://www.math.ubc.ca/~israel/problemas/surf2.gif