Es el límite exterior de la conexión de un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^2$ una imagen de $S^{1}$?

Question

Conectado a un subconjunto compacto $C$ $\mathbb{R}^2$ está contenida en algunos cerrado balón $B$. Denotar por $E$ el único componente conectado de $\mathbb{R}^2-C$ que contiene $\mathbb{R}^2-B$. El límite exterior $\partial C$ $C$ se define como el límite de $E$.

Es $\partial C$ siempre a (continua) la imagen de $S^{1}$?

Answer 1

Incluso en dos dimensiones, esto es falso.

Deje $C$ ser el cerrado topologist de la curva sinusoidal. Es compacto y conectado. Tampoco es difícil ver que el límite exterior $\partial C$ es de nuevo $C$ sí. Pero $C$ no es la imagen continua de $S^1$, ya que no es la ruta de acceso conectado.

Para una ruta de acceso conectado ejemplo, considere el "extended cerrado topologist de la curva sinusoidal" $C'$ que es la unión de $C$ con el segmento $[0,1] \times \{1\}$. $C'$ es compacto, ruta de acceso conectado, y $\partial C' = C'$. Supongamos que al contrario que $f : S^1 \to C$ es continua y surjective. Pero $C'$ no es la imagen de $S^1$, como ahora me sostienen.

Deje $y_n = (1/(2 \pi n + \frac{3\pi}{2}), -1)$ ser una secuencia de puntos en la parte inferior de la curva sinusoidal, y $y = (0,-1)$, de modo que $y_n \to y$. También vamos a $U = C' \cap (\mathbb{R} \times (-\infty,0))$ el de apertura de la mitad inferior de la curva sinusoidal. Por surjectivity, para cada una de las $n$ hay un $x_n \in S^1$$f(x_n) = y_n$. Por compacidad, el conjunto $\{x_n\}$ tiene un punto límite $x$, y por la continuidad de $f$, debemos tener $f(x) = y$. $U$ es abierto y contiene $y$, lo $f^{-1}(U)$ es abierto y contiene $x$. De ahí que podamos encontrar un arco abierto $V$$x \in V \subset f^{-1}(U)$. Ser abierto, $V$ contiene algunos $x_k$ (de hecho, infinitamente muchos), por lo $f(V)$ contiene $y_k$.

Para resumir, $V$ contiene $x$$x_k$, está contenida en $f^{-1}(U)$, y que está conectado. Por lo tanto $f(V)$ contiene $y$$y_k$, está contenida en $U$, y que está conectado. Esto es absurdo, ya $y$ $y_k$ están en los diferentes componentes de $U$.

En realidad, el mismo argumento muestra que el $C'$ no es la imagen continua de cualquier compacto, conectado localmente espacio topológico. Por otra parte, acabo de ver esta pregunta que afirma que cualquier espacio de Hausdorff, que es la imagen continua de algunos compacto, conectado localmente espacio debe ser de nuevo conectado localmente.

Answer 2

No; el límite exterior de cualquier manejar el cuerpo es un $n$-toro agujereado para algunos $n$. Pero a todo tipo de cosas pueden suceder; si $C$ es el conjunto de cantor, entonces el límite es el conjunto de Cantor. Por lo que puede ser todo tipo de cosas.