Grupo que actúe en su subconjuntos

Question

Deje $ G $ ser un grupo con $ |G|=mp^\alpha $ donde $ \alpha\geq1 $ y p es el primer entero con $p \nmid m$. A continuación, denota el conjunto de los subconjuntos de G, habiendo $p^\alpha$ de su tamaño, con $X$. Luego, con la acción $g \cdot S=\lbrace gs \mid s \in S\rbrace$ $S \in X$ mostrar que el estabilizador $G_S$ es un p-subgrupo de $G$.

Alguna idea de cómo acercarse a esta pregunta será apreciado.

Answer 1

Yo iba todo mal, la idea es probar todos los elementos de la estabilizador tienen órdenes de que son potencias de $p$.

Para ver esto consideremos un elemento $g$ del estabilizador de $S$, se define una permutación en el set $S$, en el cual todos los ciclos tienen una longitud igual a la orden de $g$. La longitud de los ciclos debe ser un divisor del número de elementos en $S$,$p^\alpha$. De modo que el orden de $g$ es un divisor de a $p^\alpha$, por lo tanto, una fuente primaria de energía.

Desde el estabilizador sólo tiene elementos de orden poderes de $p$ el estabilizador tiene la primera energía de la orden.

Nota más en general, esta estrategia funciona si usted está trabajando en los subconjuntos de tamaño $k$ donde $\gcd(|G|,k)$ es una fuente primaria de energía.

Answer 2

La cardinalidad del conjunto de se $$N=\binom{p^\alpha m}{p^\alpha}$$

Usted debe mostrar que $(p,m)=1$ implica $N$ no es divisible por $p$. Ahora, sabemos que si $G$ actúa sobre el conjunto de $S$ de los subconjuntos de tamaño $p^\alpha$, la cardinalidad de a $N$ $S$ es igual a la suma de las órbitas de esta acción. Que es, $$N=\sum_{i=1}^n | Gx_i|$$ where each $x_i$ is a representative of a unique orbit of the $G$-action. Since $p$ doesn't divide $N$, we know that $p$ doesn't divide some of the terms $|Gx_i|$. If $p$ doesn't divide $|Gx_i|$, from $|Gx_i|=|G:{\rm puñalada}\; x_i|$ it follows that the stabilizer ${\rm puñalada}\; x_i$ is such that its cardinality $M=p^\alpha n$, $n\mediados de los m$. Can you show that indeed $n=1$?

Tenga en cuenta que lo que estás demostrando es que algunos estabilizador es una $p$-grupo.

Answer 3

Sugerencia: Tomar de dos a $x,y\in G_S$ y, a continuación, intente buscar ese $xy^{-1}\in G_S$. Completar este esquema asegura que $G_S<G$.

Ahora, ya que en un lado tenemos a $$\#X={p^{\alpha}m \choose p^{\alpha}},$$ y en otro
$$\#X= \sum_{S_i}\#{\rm Orb}(S_i)=\sum_{S_i}[G:G_{S_i}],$$ pero $p\nmid {p^{\alpha}m \choose p^{\alpha}}$, entonces existe un $S_0\in X$ tal que $p\nmid [G:G_{S_0}]$.

Esto implica que $p$ divide $|G_{S_0}|$. Esto es porque si $p\nmid[G:G_{S_0}]$ a continuación, se coprime, lo que significa que existe $\lambda,\mu$ enteros tales que $\lambda p+\mu[G:G_{S_0}]=1$, lo $|G_{S_0}|=\lambda p|G_{S_0}|+\mu p^{\alpha}m$ por lo tanto la reclamación.

Del mismo modo también se $p^2$$p^3$, etcétera, se dividen $|G_{S_0}|$.

Claramente se puede proceder sólo a $p^{\alpha}$ dividiendo $|G_{S_0}|$.

Por lo $|G_{S_0}|=p^{\alpha}n$ algunos $n\in{\Bbb{N}}$.

En este punto, tal vez usted puede completar la prueba. Yo todavía no puedo. Tan pronto descubro, te voy a contar.