La topología de subespacio y espacio discreto

Question

¿Existe $A \subseteq \mathbb{R}^{2}$ con la costumbre de la topología y de la $A$ no enumerable tal que $\tau_{A}$ la topología de subespacio en $A$ es un espacio discreto?

Answer 1

No. Tenga en cuenta que $A$ es segundo contable y metrizable. A continuación, $A$ deben ser separables. Esta es una contradicción con $A$ es discreto e incontables!

Answer 2

SUGERENCIA: $\Bbb R^2$ tiene una contables base de la $\mathscr{B}$. Si $\langle A,\tau_A\rangle$ es un espacio discreto, entonces para cada a $x\in A$ no es un porcentaje ($B_x\in\mathscr{B}$tal que $B_x\cap A=\{x\}$. El mapa de $A\to\mathscr{B}:x\mapsto B_x$ es inyectiva (uno a uno), así que ... ?

Answer 3

No. Si es así, entonces podríamos crear una colección de subconjuntos abiertos del plano, uno para cada punto del espacio, todos los cuales son disjuntas. Pero cada subconjunto abierto de contener al menos un punto racional coordenadas que no es en cualquier otro subconjunto abierto. Por lo tanto, la cardinalidad debe ser menor o igual a la de la justificación, lo que es enumerable.