Al intentar resolver esta cuestión, me encontré con el siguiente límite $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{6}}\tag{1}$$ Using some algebraic manipulation (and L'Hospital's Rule) I was able to show that $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{5}} = 0\tag{2}$$ From the fact that the numerator in the above limit expression is an odd function, I guessed that the limit in $(1)$ would also be $0$ (it would be great if this guess can be supported by a proof). However I was not able to do this via simple algebraic manipulation. Also note that evaluating $(1)$ es equivalente a la solución de los vinculados pregunta (sin la suposición de la existencia de un límite).
Creo que es mejor ir un paso por delante y se establece que la $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x \log \cos x + x^{3}}{x^{7}} = -\frac{1}{40}\tag{3}$$ It is possible to evaluate the above limit via Taylor's series very easily, but I would prefer to have a solution of either $(1)$ or $(3)$ sin el uso de Taylor de la serie.
Actualización: me proporcione una evaluación de límite de $(2)$ como una ilustración del tipo de respuesta que yo prefiero. Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + x^{3}}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x + x^{3} - \sin^{3}x}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x}{x^{5}} + \frac{x^{3} - \sin^{3}x}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x}{\sin^{5}x}\cdot\frac{\sin^{5}x}{x^{5}} + \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2} + x\sin x + \sin^{2}x}{x^{2}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{2}x}{\sin^{4}x}\cdot 1 + \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^{2}}\cdot (1 + 1 + 1)\text{ (via LHR)}\notag\\ &= \lim_{t \to 0}\frac{\log (1 - t) + t}{t^{2}} + \frac{1}{2}\notag\\ &= \lim_{t \to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{1 - t} + 1}{2t} + \frac{1}{2}\text{ (via LHR)}\notag\\ &= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\notag \end{align} Actualización: finalmente he encontrado una solución que utiliza la manipulación algebraica y L'Hospital de la Regla. La regla se ha aplicado 4 veces en total resultante y expresiones simples. Ver los detalles en mi respuesta.