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Evaluar el límite de $(2\sin x\log \cos x + x^{3})/x^{7}$ $x \to 0$

Al intentar resolver esta cuestión, me encontré con el siguiente límite $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{6}}\tag{1}$$ Using some algebraic manipulation (and L'Hospital's Rule) I was able to show that $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{5}} = 0\tag{2}$$ From the fact that the numerator in the above limit expression is an odd function, I guessed that the limit in $(1)$ would also be $0$ (it would be great if this guess can be supported by a proof). However I was not able to do this via simple algebraic manipulation. Also note that evaluating $(1)$ es equivalente a la solución de los vinculados pregunta (sin la suposición de la existencia de un límite).

Creo que es mejor ir un paso por delante y se establece que la $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x \log \cos x + x^{3}}{x^{7}} = -\frac{1}{40}\tag{3}$$ It is possible to evaluate the above limit via Taylor's series very easily, but I would prefer to have a solution of either $(1)$ or $(3)$ sin el uso de Taylor de la serie.

Actualización: me proporcione una evaluación de límite de $(2)$ como una ilustración del tipo de respuesta que yo prefiero. Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + x^{3}}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x + x^{3} - \sin^{3}x}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x}{x^{5}} + \frac{x^{3} - \sin^{3}x}{x^{5}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{3}x}{\sin^{5}x}\cdot\frac{\sin^{5}x}{x^{5}} + \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\cdot\frac{x^{2} + x\sin x + \sin^{2}x}{x^{2}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log (1 - \sin^{2}x) + \sin^{2}x}{\sin^{4}x}\cdot 1 + \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^{2}}\cdot (1 + 1 + 1)\text{ (via LHR)}\notag\\ &= \lim_{t \to 0}\frac{\log (1 - t) + t}{t^{2}} + \frac{1}{2}\notag\\ &= \lim_{t \to 0}\dfrac{-\dfrac{1}{1 - t} + 1}{2t} + \frac{1}{2}\text{ (via LHR)}\notag\\ &= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\notag \end{align} Actualización: finalmente he encontrado una solución que utiliza la manipulación algebraica y L'Hospital de la Regla. La regla se ha aplicado 4 veces en total resultante y expresiones simples. Ver los detalles en mi respuesta.

4voto

Paramanand Singh Puntos 13338

Finalmente he encontrado una manera simple de evaluar el límite de $(3)$ el uso de algunos manipulación algebraica y L'Hospital de la Regla. Deje que el deseado límite de $(3)$ en cuestión se $L$, de modo que $$L = \lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x + x^{3}}{x^{7}}\tag{1}$$ The existence of $L$, depende de la existencia de ciertos límites, los cuales serán evaluados en lo que sigue.

Primero podemos ver que \begin{align} A &= \lim_{x \to 0}\frac{2\log\cos x + x^{2}}{x^{4}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 - \sin^{2} x) + \sin^{2}x + x^{2} - \sin^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 - \sin^{2} x) + \sin^{2}x}{x^{4}} + \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\cdot\frac{x + \sin x}{x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 - \sin^{2} x) + \sin^{2}x}{\sin^{4}x}\cdot\frac{\sin^{4}x}{x^{4}} + \frac{1}{6}\cdot(1 + 1)\notag\\ &= \frac{1}{3} + \lim_{x \to 0}\frac{\log(1 - \sin^{2} x) + \sin^{2}x}{\sin^{4}x}\notag\\ &= \frac{1}{3} + \lim_{t \to 0}\frac{\log(1 - t) + t}{t^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\text{ (see the derivation in question)}\notag\\ &= -\frac{1}{6}\tag{2} \end{align} Multiplicando este límite con el de la ecuación (que es fácil de obtener a través de una aplicación de LHR, ver la derivación en cuestión) $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} = -\frac{1}{6}$$ we get $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x\log \cos x - 2x\log \cos x + x^{2}\sin x - x^{3}}{x^{7}} = \frac{1}{36}\tag{3}$$ and thus we have $$L + \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}\sin x - 2x\log \cos x - 2x^{3}}{x^{7}} = \frac{1}{36}$$ or $$\lim_{x \to 0}\frac{x\sin x - 2\log\cos x - 2x^{2}}{x^{6}} = \frac{1}{36} - L = B\text{ (say)}\tag{4}$$ El límite anterior ahora se calcula a través de la manipulación algebraica y la aplicación de L'Hospital de la Regla. \begin{align} B &= \lim_{x \to 0}\frac{x\sin x - 2\log\cos x - 2x^{2}}{x^{6}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{\sin x + x\cos x+ 2\tan x - 4x}{6x^{5}}\text{ (via LHR)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\cos x - x\sin x + 2\sec^{2}x - 4}{30x^{4}}\text{ (via LHR)}\notag\\ \Rightarrow 30B &= \lim_{x \to 0}\frac{2\cos^{3} x - x\sin x\cos^{2}x + 2 - 4\cos^{2}x}{x^{4}\cos^{2}x}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\cos^{3} x - x\sin x\cos^{2}x + 2 - 4\cos^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\cos x(1 - \sin^{2}x) - x\sin x + x\sin^{3}x - 2 + 4\sin^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}\frac{2\cos x(1 - \sin^{2}x) - x\sin x - 2 + 4\sin^{2}x}{x^{4}} + \frac{\sin^{3}x}{x^{3}}\notag\\ &= 1 + \lim_{x \to 0}\frac{2\cos x(1 - \sin^{2}x) - x\sin x - 2 + 4\sin^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= 1 + \lim_{x \to 0}\frac{2(1 - 2\sin^{2}(x/2))(1 - \sin^{2}x) - x^{2} + x^{2} - x\sin x - 2 + 4\sin^{2}x}{x^{4}}\notag\\ &= 1 + \lim_{x \to 0}\frac{- 4\sin^{2}(x/2) + 4\sin^{2}(x/2)\sin^{2}x - x^{2} + 2\sin^{2}x}{x^{4}} + \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}}\notag\\ &= \frac{7}{6} + \lim_{x \to 0}\frac{- 4\sin^{2}(x/2) - x^{2} + 2\sin^{2}x}{x^{4}} + \lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{\sin^{2}(x/2)}{(x/2)^{2}}\notag\\ &= \frac{13}{6} + \lim_{x \to 0}\frac{- 4\sin^{2}(x/2) - x^{2} + 8\sin^{2}(x/2)\cos^{2}(x/2)}{x^{4}}\notag\\ &= \frac{13}{6} + \lim_{x \to 0}\frac{- 4\sin^{2}(x/2) - x^{2} + 8\sin^{2}(x/2)(1 - \sin^{2}(x/2))}{x^{4}}\notag\\ &= \frac{13}{6} + \lim_{x \to 0}\frac{4\sin^{2}(x/2) - x^{2} - 8\sin^{4}(x/2)}{x^{4}}\notag\\ &= \frac{13}{6} + \lim_{x \to 0}\frac{4\sin^{2}(x/2) - x^{2}}{x^{4}} - \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{4}(x/2)}{(x/2)^{4}}\notag\\ &= \frac{5}{3} + \lim_{x \to 0}\frac{4\sin^{2}(x/2) - x^{2}}{x^{4}}\notag\\ &= \frac{5}{3} + \frac{1}{4}\lim_{t \to 0}\frac{\sin^{2}t - t^{2}}{t^{4}}\text{ (by putting }x = 2t)\notag\\ &= \frac{5}{3} + \frac{1}{4}\lim_{t \to 0}\frac{\sin t - t}{t^{3}}\cdot\frac{\sin t + t}{t}\notag\\ &= \frac{5}{3} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\cdot(1 + 1)\notag\\ &= \frac{19}{12}\notag \end{align} y, por tanto, $B = 19/360$ y, finalmente, de $(4)$ hemos $$L = \frac{1}{36} - B = -\frac{9}{360} = -\frac{1}{40}$$ The above derivation looks long because of detailed steps, but does not use anything more than $(\sen x)/x \a 1$ or $(x - \sen x)/x^{3} \a 1/6 de dólares.

3voto

Claude Leibovici Puntos 54392

Si utiliza la regla de L'Hôpital, si hay un límite, porque de la $x^7$, sería necesario diferenciar siete veces el numerador. Después de estos siete diferenciaciones (divertirse !), el denominador se $7!=5040$ y, después de una larga serie de sucesivas simplificaciones, el séptimo derivada del numerador iba a escribir $$-2 \left(720 \s ^7(x)-864 \s ^5(x)+204 \s ^3(x)-4 \sec (x)+\cos (x) (\log (\cos (x))+7)\right)$$ the value of which being $-126$ for $x=0$. Entonces, su resultado.

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