La ecuación de Riccati fue nombrada en honor de su padre.

Question

Para el sulotion de la OED: $\frac{dy}{dx}=1+x+y^2+xy$. Esta es una Ecuación de Riccati! Alguien me puede dar una pista?

Answer 1

si conocemos $y_p=-\frac{x^2-2x-1}{x^2-4x+3}$ es una solución particular. Para que podamos encontrar la solución general de la Ecuación de Riccati. (Nota:yo no lo intente .Confío en GEdgar. Gracias a él. Acabo de ofrecer una solución general Si sabemos que una solución particular)

El uso de la transformación de $y=y_p+\frac{1}{H} $

$\frac{dy}{dx}=1+x+y^2+xy$.

$y_p'+(\frac{-H'}{H^{2}})=1+x+(y_p^2+\frac{2y_p}{H}+\frac{1}{H^2})+xy_p+\frac{x}{H} $

$y_p'=1+x+y_p^2+xy_p+\frac{H'}{H^{2}}+\frac{2y_p}{H}+\frac{1}{H^2}+\frac{x}{H} $

si $y_p$ es una solución de la ecuación, entonces debe satisfacer $y_p'=1+x+y_p^2+xy_p$ Así $0=\frac{H'}{H^{2}}+\frac{2y_p}{H}+\frac{1}{H^2}+\frac{x}{H} $

Es una tarea , por Lo que Ahora debería ver un lineal de primer orden differantial ecuación y, a continuación, puede obtener la solución general:

$$y=y_p-\frac{e^{-\int{(2y_p+x)}dx}}{\int{e^{-(\int{2y_p+x)}dx}}dx} $$

Para más información:no siempre es tan fácil encontrar una solución particular de la ecuación de Riccati. No sé, una forma cerrada método para encontrar una solución particular. Cómo encontrar la solución general de Riccatti ecuación se ha pedido y se ofrecen algunos métodos en mi pregunta http://mathoverflow.net/questions/87041/looking-for-the-solution-of-first-order-non-linear-differential-equation-y-y

Answer 2

El cambio de $y=u-\frac{z}{2}$ la ecuación se convierte a la forma $$\frac{du}{dx}=u^2+\left(\frac{x}{2}-1\right)^2+\frac{5}{2}$$ que no parecen poseer soluciones en términos de funciones elementales