La forma cerrada para $\prod_{l=1}^\infty \cos\dfrac{x}{3^l}$

Question

Hay alguna forma cerrada para el infinito producto $\prod_{l=1}^\infty \cos\dfrac{x}{3^l}$? Creo que es convergente para cualquier $x\in\mathbb{R}$.

Creo que puede ser porque hay una forma cerrada para $\prod_{l=1}^\infty\cos\dfrac{x}{2^l}$ si no estoy equivocado.

Answer 1

Si partimos de $$ \cos(x) = \prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{4x^2}{(2n+1)^2 \pi^2}\right) \tag{1}$$ tenemos:

$$ \log\cos(x) = -\sum_{n\geq 0}\sum_{m\geq 1}\frac{4^m x^{2m}}{m(2n+1)^{2m} \pi^{2m}}=-\sum_{m\geq 1}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)\,x^{2m}}{m\pi^{2m}}\tag{2} $$ por lo tanto: $$ \sum_{l\geq 1}\log\cos\left(\frac{x}{3^l}\right)=-\sum_{m\geq 1}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)}{(9^m-1)m\pi^{2m}}x^{2m}\tag{3} $$ y $$ \prod_{l\geq 1}\cos\left(\frac{x}{3^l}\right) = \color{red}{\exp\left(-\sum_{m\geq 1}\frac{(4^m-1)\zeta(2m)}{(9^m-1)m\pi^{2m}}x^{2m}\right)}\tag{4}$$

no simplifica mucho más.

Answer 2

Seguimos el método de este trabajo, utilizando la transformada de Fourier.

Después de su normalizaciones, $$ \hat f (\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb R} f(x) e^{-i \omega x} \, dx, \qquad f(x) = \int_{\mathbb R} \hat f(\omega) e^{i \omega x} \, d\omega, $$ de los hechos clave que se utilizarán son:

1. La identidad de $\cos(bx) = \frac{e^{i b x} + e^{-i b x}}{2}$
2. Si $f(x) = e^{ibx}$,$\hat f(\omega) = \delta_b(\omega)$, la delta de Dirac centrado en $\omega = b$.
3. La fórmula de la convolución $\widehat{fg} = \hat f * \hat g$.
4. La identidad de $\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}$.

La aplicación de estos a su problema, \begin{align*} \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{3^k}\right) &= \prod_{k=1}^n \frac{e^{i \frac{x}{3^k}} + e^{-i \frac{x}{3^k}}}{2} \\ \implies \widehat{\prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{3^k}\right)} &= \frac{1}{2^n} \left(\delta_{\frac{1}{3^1}} + \delta_{-\frac{1}{3^1}} \right) * \cdots * \left(\delta_{\frac{1}{3^n}} + \delta_{-\frac{1}{3^n}} \right)(\omega) \\ &= \frac{1}{2^n} \sum_{p \in P_n} \delta_p(\omega) \end{align*} donde $P_n$ es el conjunto de $2^n$ puntos dado por $P_n = \left\{\sum_{k=1}^n \frac{b_k}{3^k} \;\middle|\; b_k \in \{-1,1\} \; \forall k \right\}$. Tenga en cuenta que los extremos de $\bigcup_{n=1}^\infty P_n$ están delimitadas bien por $\pm \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3^k} = \pm \frac{1/3}{1 - 1/3} = \pm \frac{1}{2}$, y cada punto en $\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]$ es el límite de alguna secuencia $(p_n)_{n=1}^\infty$ donde $p_n \in P_n$. Por lo tanto $\tfrac{1}{2^n} \sum_{p \in P_n} \delta_p(\omega)$ tiende a la densidad uniforme de la masa total $1$$\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]$$n\to\infty$, el cual es dado por la función del indicador de $\chi_{\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]}(\omega)$: \begin{align*} \widehat{\prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{3^k}\right)} &= \chi_{\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]}(\omega). \end{align*} Tomando inversa de Fourier, se obtiene $$ \prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{3^k}\right) = \int_{\mathbb R} \chi_{\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]}(\omega) e^{i \omega x} \, d\omega = \int_{-1/2}^{1/2} e^{i \omega x} \, d\omega = \frac{\sin\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\tfrac{x}{2}}. $$

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ACTUALIZACIÓN: he aquí por qué el anterior es incorrecto. La afirmación de que "cada punto en $\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]$ es el límite de alguna secuencia $(p_n)_{n=1}^\infty$ donde $p_n \in P_n$" es incorrecto; de hecho, los puntos pertenecientes a $P = \bigcup_n P_n$ son los que han equilibrado ternario de expansión consta de los dígitos $1$ $-1$ pero no $0$. No estoy seguro de cómo describir mejor la $P$, pero queremos continuar como antes por la integración de más de $P$ (en lugar de todos los de $\left[ - \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right]$) para calcular la inversa de la transformada de Fourier dando la respuesta correcta.

Answer 3

Deje $\displaystyle P=\prod_{i=1}^n\cos\left(\frac x{2^i}\right)$.

$\displaystyle P=\cos\left(\frac x{2}\right)\cos\left(\frac x{4}\right)\cos\left(\frac x{8}\right)\cdots\cos\left(\frac x{2^n}\right)$

$\displaystyle P\sin\left(\frac x{2^n}\right)=\cos\left(\frac x{2}\right)\cos\left(\frac x{4}\right)\cos\left(\frac x{8}\right)\cdots\cos\left(\frac x{2^n}\right)\sin\left(\frac x{2^n}\right)$

$\displaystyle P\sin\left(\frac x{2^n}\right)=\frac12\,\cos\left(\frac x{2}\right)\cos\left(\frac x{4}\right)\cos\left(\frac x{8}\right)\cdots\cos\left(\frac x{2^{n-1}}\right)\sin\left(\frac x{2^{n-1}}\right)$

...

$\displaystyle P\sin\left(\frac x{2^n}\right)=\frac1{2^{n-1}}\,\cos\left(\frac x{2}\right)\sin\left(\frac x2\right)$

$\displaystyle P\sin\left(\frac x{2^n}\right)=\frac1{2^{n}}\,\sin(x)$

$\displaystyle P=\frac{\sin(x)}{2^{n}\sin\left(\frac x{2^n}\right)}$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(x)}x\frac{2^{-n}x}{\sin\left( 2^{-n}x \right)}=\frac{\sin(x)}x$

Sin embargo, no soy capaz de resolver el con $3$ en el denominador.