Cómo puedo probar que para cada $n\in\Bbb Z^+$ $$\frac{f_{2n}}{f_{2n-1}}\leq\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ where each $f_i$ es un término de la secuencia de Fibonacci.
Cualquier ayuda es muy apreciada
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$$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n-1}-b^{2n-1}}-a=\frac{b^{2n-1}(a-b)}{a^{2n-1}-b^{2n-1}}$$
se $<0$ real $a-b>0, b<0$
El Uso De Euler-Binet Fórmula, $a=\dfrac{1+\sqrt5}2>0,b=\dfrac{1-\sqrt5}2<0\implies a-b>0$
Así, $$\frac{a^{2n}-b^{2n}}{a^{2n-1}-b^{2n-1}}<a$$ for integer $n\ge0$
5xum
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41561
El uso de la inducción. Para $n=1$, la instrucción es obviamente cierto. Para $n+1$, el uso de estos dos hechos:
- Ya sabes que $\frac{f_{2n}}{f_{2n-1}}\leq \frac{1+\sqrt5}{2}$
- Usted sabe que $f_{2(n+1)} = f_{2n+2} = f_{2n+1} + f_{2n}$ y $f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2n-1}$.
Con esto, usted puede probar que el paso inductivo.
freespace
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A mí me parece razonable tratar de probar algo más fuerte reclamo por inducción. (Esto sucede muy a menudo que tratando de demostrar declaración más fuerte podría hacer inductivo prueba más fácil.)
Para cada una de las $n$ las desigualdades $$\frac{F_{2n}}{F_{2n-1}}\le\frac{1+\sqrt5}2 \qquad\text{and}\qquad \frac{F_{2n+1}}{F_{2n}}\ge\frac{1+\sqrt5}2$$ sostenga.
Inductivo paso debería ser relativamente fácil usando el hecho de que la proporción áurea $\varphi=\frac{1+\sqrt5}2$ cumple con la ecuación de $\varphi^2-\varphi-1=0$. En particular, se ha $\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi$.
