Deje $m(n) = \min \{ m : 2^mm^{3/2} \geq n \}$. Quiero mostrar que la $\lim_{n \rightarrow \infty} m(n)/ \log_2(n) = 1$. He sido capaz de demostrar que el limsup de este límite es en la mayoría de los 1. ¿Cómo puedo mostrar la otra dirección? Estoy seguro de que la minimality de $m(n)$ tiene que ser utilizado somwhere.
Respuesta
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Tenemos $$ m(n)= \min\left\{m : m+\frac 3 2\log_2(m)\ge\log_2(n)\right\}. $$ En primer lugar, es claro que $m(n)\le\log_2(n)$. Ahora, el conjunto de $$ a_n:= \log_n(\log_2(n)^{3/2})= \frac 3 2\cdot\frac{\log_2(\log_2(n))}{\log_2(n)}, $$ que tiende a cero. Con $m=(1-a_n)\log_2(n)$ obtenemos \begin{align*} m+\frac 3 2\log_2(m) &= \log_2(n) - \log_2(n^{a_n}) + \log_2((1-a_n)^{3/2}\log_2(n)^{3/2})\\ &< \log_2(n) - \log_2(n^{a_n}) + \log_2(\log_2(n)^{3/2})\\ &= \log_2(n) + \log_2\left(\frac{\log_2(n)^{3/2}}{n^{a_n}}\right)\\ &= \log_2(n). \end{align*} Por eso, $m(n)\ge (1-a_n)\log_2(n)$. En resumen, $1-a_n\le\tfrac{m(n)}{\log_2(n)}\le 1$, que los rendimientos de la demanda.
