Relación de equivalencia $(a,b) R (c,d) \Leftrightarrow a + d = b + c$

Question

Supongamos que $A$ es el conjunto compuesto por todos los pares ordenados de enteros positivos. Sea $R$ sea la relación definida en $A$ donde $(a,b) R (c,d)$ significa que $a + d = b + c$ .

(a) Demuestre que $R$ es una relación de equivalencia.

Esto es lo que tengo hasta ahora. ¿Es esto correcto?

Reflexivo: $a \sim a$ $\implies$ $a+b=a+b$ ; $(a,b) R (c,d)$

Simétrico: si $a \sim b$ entonces $b \sim a$ $\implies$ si $a+d=b+c$ entonces $c+b=d+a$

Transitivo: si $a \sim b$ y $b \sim c$ entonces $a \sim c$ $\implies$ si $a+d=b+c$ y $c+f=d+e$ entonces $a+d=d+e$

(b) Encuentre $[(1,1)]$ .

No estoy seguro de cómo enfocar esto.

Answer 1

Su prueba sobre el hecho de que $R$ es, de hecho, una relación de equivalencia es correcta.

Ahora piensa cuál es la clase de equivalencia de $(1,1)$ podría ser, ya que $(1,1) R (1,1)$ sabes que todos los de la clase de equivalencia tienen la propiedad de que $(a,b)$ tiene $a+1=b+1$ Por lo tanto $a=b$ .

Esto significa que la clase de equivalencia de $(1,1)$ es $(a,a)$ para $a\in\mathbb{N}$ .

Answer 2

CONSEJO: La clase de equivalencia de $(1,1)$ se compone de todos los pares $(x,y)\sim(1,1)$ . Escriba explícitamente lo que significa esto último y obtenga una relación que debe ser satisfecha por $x$ y $y$ .

Answer 3

HINT $\ $ Esto es geométricamente obvio una vez que se observa que la clase de equivalencia que contiene $\rm\ (a,b)\ $ es simplemente la pendiente $1$ línea que lo atraviesa (con coordenadas enteras positivas). En efecto, está descubriendo los enteros negativos como aquellas líneas que no tienen coordenadas positivas $x$ -intercepción (= forma normal), es decir, cuyo intercepto es "negativo". Esta construcción de "grupo de diferencias" es el análogo aditivo de la construcción del campo de fracciones.

Answer 4

Sea (a,b)R(a,b) a+b=b+a => R es reflexivo (a,b son enteros)

(a,b)R(c,d) si a+d=b+c y (c,d)R(a,b) si c+b=d+a; ambos son iguales (a,b,c,d son enteros) por lo tanto R es simétrico

(a,b)R(c,d) si a+d=b+c --->(1) (c,d)R(e,f) si c+f=d+e --->(2) añade (1)&(2)
a+c+d+f=b+d+c+e, ==> a+f=b+e es decir (a,b)R(e,f) R es transitiva. Por tanto, R es una relación de equivalencia

Answer 5

Sean (a,b)=x, (b,c)=y y (c,d)=z; Ahora para demostrar que R en A es una equivalencia. Tendremos que demostrar que también es reflexiva(xRx), simétrica[(xRy)=(yRx)] y transitiva[(xRy) e (yRz) implica (xRz)]. Y la condición es: (a,b)R(c,d) implica a+d=b+c

1. xRx=(a,b)R(a,b) implies a+b=b+a which is true; therefore it is reflexive.

2. xRy=(a,b)R(b,c) implies a+c=b+b….1 & yRx=(b,c)R(a,b) implies b+b=c+a…2 here 1 and 2 are equal therefore R is symmetric.

3. xRy=a+c=b+b…1 & yRz=(b,c)R(c,d) implies b+d=2c…..2 implies that xRz=(a,b)R(c,d) implies a+d=b+c……3
Now Adding 1 and 2 we get:
a+c+b+d=2b+2c implies a+d=b+c which is to be proved for transitivity.