Mediante sustitución trigonométrica para resolver por integración?

Question

Así que he usado un trig sub para este problema: $$\int \frac{1}{x^2\sqrt{9-x^2}}dx.$$

${x=3\sin\theta}$

${dx=3\cos\theta\ d\theta}$

${\sqrt{9-x^2}= 3\cos\theta}$

Terminé con $$\frac19 \int \frac{ d\theta}{\sin^2\theta}$$

Desde allí ¿cómo puedo solucionar eso?

Answer 1

$${\int{1\over x^2\sqrt{9-x^2}}}dx$$

Su sustituciones están muy bien:

$$x = 3\sin \theta \implies dx = 3\cos \theta \,d\theta$$

Pero tenga cuidado acerca de $$\sqrt{9 - (3\sin \theta)^2}=\sqrt{9\cos^2 \theta} = 3|\cos\theta|$$

Así que tenemos $$\int \frac{3\cos \theta d\theta}{9\sin^2 \theta\cdot 3|\cos \theta|} \;= \;\frac{1}9\int \frac{\pm d\theta}{\sin^2 \theta}\; = \;\frac 19 \int \pm \csc^2\theta \,d\theta \;\;= \;\; \pm \frac 19 \int -\frac{d}{dx}\left(\cot \theta\right)\,dx= \;\;\mp \frac 19 \cot\theta + C$$

• Permítanme explicar el uso de $\pm, \mp$. Cuando $\pi/2 \lt \theta\lt 3\pi/2, $ then $\cos \theta < 0$ and so $|\cos \theta| = -\cos \theta$.

Ahora usted necesita sólo sustituir por la expresión de las $\theta$ en términos de $x$.

Answer 2

Sugerencia: $\dfrac{d}{d\theta}\cot\theta = -\csc^2\theta$

Y $d\theta$ en su integral no debe estar en el denominador!

Answer 3

La simplicidad manera es adivinar: tenga en cuenta que $(-\cot x)'=\frac{1}{\sin^2 x}$, así:

$$\int \frac{1}{\sin^2 \theta}dx=-\cot \theta+C$$

La próxima $\theta=\arcsin (x/3)$,así:

$$\int \frac{1}{\sin^2 \theta}dx=-\cot \theta+C=-\cot(\arcsin (x/3))+C$$