Cómo demostrar que $\ln x\leq x-1 \forall x>0$ ?

Question

Tengo que demostrar que $\ln x\leq x-1 \forall x>0$ utilizando el teorema del valor medio.

Para $x=1$ la ecuación es verdadera.

Así que, para empezar, comprobaré $x>1$ .

Aplicando el mencionado teorema para $$f(t)=\ln t / [1,x]$$ sabemos que hay un $c\in(1,x)$ con

$$f'(c)=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\Leftrightarrow$$ $$\ln c=\frac{\ln x}{x-1}$$

Y aquí estoy atascado.

Sé que $c>1$ así $\ln c >\ln 1$ así $\ln c>0$

Pero no sé cómo usar eso para probar lo que necesito probar.

Answer 1

Una pista: comme $\log' x = 1/x$ : $$ \log x - \log 1 = \frac{x-1}{c_x} $$

para algunos $c_x\in (1,x)$ .

Answer 2

Primero vamos a hacer el caso en el que $x>1$ : \begin{align} & & f'(c) & = \frac{\ln x - \ln 1}{x-1} = \frac{\ln x}{x-1} \\[10pt] \Longleftrightarrow & & \frac 1 c & = \frac{\ln x}{x-1} \\[10pt] \Longleftrightarrow & & (\text{something less than 1}) & = \frac{\ln x}{x-1} \\[10pt] \Longleftrightarrow & & (\text{something less than 1})\cdot(x-1) & = \ln x \\[10pt] \Longleftrightarrow & & \ln x & < x-1 \end{align}

El caso en el que $0<x<1$ se hace de forma similar.

Answer 3

Definir

$$f(x):=\log x-x+1\implies f'(x)=\frac1x-1=0\iff x=1$$

y como

$$f''(x)=-\frac1{x^2}<0\;\;\forall\,x\implies x=1\;\;\text{is a maximum point} \implies$$

$$\forall\,x>0\;,\;\;f(x)\le f(1)=0$$

que es la desigualdad deseada.

Answer 4

Comience con $e^x \ge 1+x$ , toma el logaritmo (así $x \ge \ln(1+x)$ ), y reemplazar $x$ con $x-1$ .

Sé que esto no utiliza el MVT, pero esa es la forma en que la galleta rebota.