Dejemos que $A$ ser un $10\times 10$ matriz en la que cada fila tiene exactamente una entrada igual a $1$ . Y las nueve entradas restantes de la fila son $0$ . ¿Cuál de los siguientes no es un valor posible del determinante? $0, 1 ,-1, 10$ . Soy capaz de identificar para $2\times 2$ cruzar dos matrices para las que el valor posible del determinante es $1$ o $-1$ . ¿Cómo identificar para una matriz de tamaño tan grande? ¿Podemos identificar dicha matriz?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sumar o restar una fila de una matriz a otra no cambia su determinante, por lo que podemos suponer que cada columna de la matriz tiene como máximo una entrada que es 1.
Intercambiar filas de una matriz sólo cambia el signo del determinante; así que si realizamos intercambios de filas para que la matriz resultante sea diagonal, habremos determinado el determinante hasta un signo.
Así que ahora tenemos una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son 1 o 0. El determinante de esta matriz debe ser $0$ o $1$ y, por tanto, el determinante de la matriz original debe ser $0$ , $1$ o $-1$ .
(El $-1$ puede surgir la posibilidad: empezar con la matriz identidad e intercambiar las dos últimas filas. Puede surgir la posibilidad 0: empezar con una matriz cuya primera columna sea toda $1$ 's. Y, por supuesto, la matriz de identidad muestra que $1$ es un valor posible del determinante).
