Homología de la banda de Möbius

Question

¿Cómo se calculan los grupos de homología de la banda de Möbius?

Estoy pensando en dos métodos.

1. Utilizar la homología celular. He intentado dibujar una estructura delta-compleja de la banda de Möbius, pero no estoy seguro de que esté bien. Básicamente tengo un rectángulo con los extremos opuestos identificados, así que los vértices (de arriba a abajo) de la izquierda son $a$ y $b$ . A la derecha, son $b$ y $a$ . Sé que hay una ventaja $e$ que se une desde $b$ a $a$ y esto es tanto para el lado izquierdo como para el derecho del rectángulo. Pero esto aún no es una estructura compleja delta, así que siento que necesito dibujar otro borde a través del rectángulo desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha, conectando $b$ a $b$ . Pero, ¿cómo se etiquetan estos 3 bordes restantes? Si etiqueto la arista superior y la inferior, creo que estoy creando otra superficie, el toroide, la RP2 o la botella de Klein, y por tanto no es el camino a seguir. ¿Significa que este método no es posible?

2. Utilice $H_n(X^k,X)$ de alguna manera, donde $X^k$ es el $k$ esqueleto de $X$ . Pero no sé muy bien cómo proceder con esto.

Cualquier indicación en la dirección correcta es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

He adjuntado un modelo de la banda de Möbius. Los vértices son $a$ y $b$ . Los que finalmente se pegan reciben la misma letra. Los bordes se etiquetan $A$ , $B$ y $C$ . Hay dos aristas etiquetadas $A$ y tienen flechas. Hay que pegarlas de forma que las flechas coincidan, es decir, hay que dar una media vuelta antes de pegar. Las flechas de $B$ y $C$ sólo están ahí porque debemos orientar las síplices. Finalmente, $\alpha$ es la única cara. No sé cómo poner una flecha en el sentido de las agujas del reloj alrededor de ella, así que por favor añade una.

Para encontrar los grupos de homología, debemos mirar las imágenes y los núcleos de los mapas de frontera. Consideremos la serie de mapas $0 \to F \to E \to V \to 0$ , donde $F$ significa caras, $E$ para los bordes y $V$ para los vértices. Entre cada uno hay un mapa de límites.

• Considere $\partial : 0 \to F$ . Tanto la imagen como el núcleo son $0$ .
• Considere $\partial : F \to E$ . Tenemos $\partial \alpha = 2A+B+C$ y por tanto la imagen no está vacía. Sólo había una cara, por lo que la imagen es isomorfa a $\mathbb{Z}$ . La única cara tenía una imagen distinta de cero, por lo que el núcleo es $0$ .
• Considere $\partial : E \to V$ . Tenemos $\partial A = b-a$ , $\partial B = a-b$ y $\partial C = a-b$ . Hasta un número entero, las imágenes son todas $a-b$ y así la imagen es unidimensional: $\mathbb{Z}$ . Había tres bordes, y la imagen era unidimensional, por lo que el núcleo debe ser bidimensional: $\mathbb{Z}^2$ .
• Considere $\partial : V \to 0$ . Tenemos $\partial a = \partial b = 0$ y así la imagen es $0$ . Hay dos vértices, por lo que el núcleo debe ser $\mathbb{Z}^2.$

Podemos juntar todo esto. El grupo $H_2(M,\mathbb{Z})$ viene dado por el cociente del núcleo de $F \to E$ por la imagen de $0 \to F$ es decir $0/0 \cong 0$ . El grupo $H_1(M,\mathbb{Z})$ viene dado por el cociente del núcleo de $E \to V$ por la imagen de $F \to E$ es decir $\mathbb{Z}^2/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$ . El grupo $H_0(M,\mathbb{Z})$ viene dado por el cociente del núcleo de $V \to 0$ por la imagen de $E \to V$ es decir $\mathbb{Z}^2/\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}$ . Por lo tanto:

\begin {array}{ccc} H_2(M, \mathbb {Z}) & \cong & \{0\} \\ H_1(M, \mathbb {Z}) & \cong & \mathbb {Z} \\ H_0(M, \mathbb {Z}) & \cong & \mathbb {Z} \end {array}

Answer 2

Coge la tira de papel habitual que pegarías para hacer una tira de Möbius. Si quieres obtener un complejo simplicial, traza una línea en diagonal desde la esquina superior de la izquierda hasta la esquina inferior de la derecha, de modo que tu tira de papel sea la unión de dos triángulos.

Tu banda tiene ahora dos caras triangulares, cinco 1-símbolos (las cuatro aristas de la banda de papel, junto con la línea que dibujaste para dividirla en dos triángulos), y 4 vértices. Pero al pegar identificas las dos aristas de cada extremo de la tira, así que para la banda de Möbius hay dos caras, cuatro 1-símbolos y 2 vértices.

Ahora sólo hay que escribir el complejo de cadena simplicial correspondiente y calcular.

Answer 3

Una forma sencilla de calcular los grupos de homología aquí es notar que la banda de Möbius es homotópicamente equivalente a $S^1$ . Entonces se puede aplicar el Corolario 2.11 (Sección 2.1) de Hatcher que:

Los mapas $\ f_{\ast} : H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$ inducido por una equivalencia de homotopía $ \ f : X \rightarrow Y$ son isomorfismos para todo $n$ .

Esto debería facilitar la tarea.