Suma de la serie $\sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}$

Question

Quiero calcular la suma: $$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{n}{3^n}\:$$ por lo $:\:\sum_{n=1}^{\infty}\:nx^n;\:x=\frac{1}{3}\:$ $$=x\sum_{n=1}^{\infty}\:nx^{n-1}=x\sum_{n=1}^{\infty}\:n\:\left(\int\left(x^{n-1}\right)dx\right)'=x\sum_{n=1}^{\infty}\:\left(x^n\right)' $$

ahora desde aquí me gustaría seguir: $x\:\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{x}{^{\left(1-x\right)^2}}\:\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{4}$

En la respuesta que he visto, hay otro paso, de la que podemos obtener el mismo resultado, pero no entiendo por qué es correcto para hacerlo: $$ x\sum_{n=1}^{\infty}\:\left(x^n\right)'=x\sum_{n=0}^{\infty} ({x^{n}})' =x\cdot \left(\frac{1}{1-x}\right)'=\frac{x}{^{\left(1-x\right)^2}} $$

Se trata simplemente de un error de ortografía ?

Answer 1

Otro enfoque es el siguiente: la serie es absolutamente convergente desde $3^n\geq n^3$ cualquier $n\geq 3$.

Si establecemos $S=\sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n}$, tenemos:

$$2S = 3S-S = \sum_{n\geq 1}\frac{3n}{3^n}-\sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n} = \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{3^n}-\sum_{n\geq 1}\frac{n}{3^n} = 1+\sum_{n\geq 1}\frac{1}{3^n},$$ por lo tanto $2S=1+\frac{1}{2}$ conduce a $S=\color{red}{\frac{3}{4}}$ como quería.

Answer 2

Como jschnei señala en los comentarios, el paso siguiente porque la derivada de cualquier constante es siempre cero (en otras palabras, la respuesta que vio añadido cero en una forma conveniente).

Answer 3

Aunque esto no abordar la cuestión específica, pensé que podría ser instructivo para presentar otro enfoque para resolver un problema de esta naturaleza. Así que, aquí vamos

Deje $S=\sum_{n=1}^\infty nx^n.\,\,$ tenga en cuenta que también podemos escribir la suma de $S$ $S=\sum_{n=0}^\infty nx^n,\,\,$ desde el primer plazo$nx^n=0$$n=0$. Haremos uso de la antigua designación en lo que sigue.

La observación de que podemos escribir $n$ $n=\sum_{m=1}^n (1)$ (o $n=\sum_{m=0}^{n-1}(1)$), la serie de interés $S$ puede ser escrito, por lo tanto

$$\begin{align} S&=\sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{m=1}^n (1)\right)x^n\\\\ &=\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^n (1)x^n\ \end{align}$$

Ahora, simplemente cambiando el orden de la suma de los rendimientos

$$\begin{align} S&=\sum_{m=1}^\infty (1)\left(\sum_{n=m}^\infty x^n\right)\\\\ &=\sum_{m=1}^\infty (1)\left(\frac{x^m}{1-x}\right)\\\\ &=\frac{x}{(1-x)^2} \end{align}$$

que se recupera el resultado obtenido a través de la conocida metodología de diferenciación bajo el signo de suma.