Par / impar integrales

Question

Mi libro de texto en realidad no tiene una explicación para esto podría alguien explicar esta demasiado de mí.

Si f(x) es par, entonces, ¿qué podemos decir acerca de: $$\int_{-2}^{2} f(x)dx$$

Si f(x) es impar, entonces, ¿qué podemos decir acerca de $$\int_{-2}^{2} f(x)dx$$

Supuse que ambos son cero? Para la primera, si incluso no sería el mismo que $$\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$$

Ahora bien, si su impar f(-x) = -f(x). Sería FTOC hacer este cero?

Answer 1

Si $f(x)$ es incluso, a continuación,$f(-x) = f(x)$. Por lo $$\int_{-2}^2 f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-2}^0 f(x)\, \mathrm{d}x + \int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x = \int_0^2 f(-x) \, \mathrm{d}x + \int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x$$

Pero, a continuación,$f(-x) = f(x)$, de modo que se simplifica a $2\int_0^2 f$.

Del mismo modo, si $f$ es extraño - que es: $f(-x) = -f(x)$ obtenemos $$\int_{-2}^2 f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{-2}^0 f(x)\, \mathrm{d}x + \int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x = \int_0^2 f(-x) \, \mathrm{d}x + \int_0^2 f(x) \, \mathrm{d}x = 0$$

Answer 2

No exactamente: $$\begin{cases}\displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=2\int_{0}^a f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x &\text{if }\;f\;\text{ is even,}\\ \displaystyle\int_{-a}^a f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=0&\text{if }\;f\;\text{ is odd.}\end{casos}$$ A ver, hacer la sustitución $\;t=-x$, $\;\mathrm d\mkern1mu x=-\mathrm d\mkern1mu t$: $$\int_{-a}^0 f(x)\,\mathrm d\mkern1mu x=-\int_{a}^0 f(-t)\,\mathrm d\mkern1mu t=\int_{0}^a f(-t)\,\mathrm d\mkern1mu t=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^a f(-t)\,\mathrm d\mkern1mu t&(f\;\text{even}),\\\displaystyle-\int_{0}^a f(-t)\,\mathrm d\mkern1mu t&(f\;\text{odd}),\end{cases}$$ a continuación, utilice Chasles relación.

Answer 3

Empezar por dividir la integral en dos partes, la parte más negativos los valores de $x$ y la parte más de los valores positivos.

$$ \int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{2} f(x)\,dx$$

Desde aquí se puede aplicar la definición de una función par o impar

Answer 4

$$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^0 f(x)dx + \int_0^bf(x)dx $$ si y sólo si $0 \in (a,b)$ es decir $0$ está en el intervalo de su integral. Por lo $a=-2$ $b=2$ satisface fácilmente. $$ \int_{a}^0 f(x)dx = -\int_{-a}^0 f(-x)dx = \int_0^{-a}f(-x)dx $$ ahora ya tenemos el requisito de que $0$ está en el intervalo, entonces debemos tener $a < 0$ $b>0$ esto implica $-a > 0$ (fácil de ver)

poner esto juntos hemos $$ \int_a^b f(x) dx = \int_a^0 f(x)dx + \int_0^bf(x)dx = \int_0^{-a}f(-x)dx + \int_0^bf(x)dx $$ si tenemos simétrica límites decir $|a| = |b|$ o $a = - b$, entonces tenemos $$ \int_{-b}^{b} f(x) dx = \int_0^{b}f(-x)dx + \int_0^bf(x)dx = \int_0^b f(-x) + f(x) dx $$ La parte final es lo que es la paridad de una función, el ejemplo que tenemos aquí es raro/incluso, en este sentido $$ f(-x) = -f(x)\;\;\text{impar}\\ f(-x) = f(x)\;\;\text{par} $$ así que puede sustituir en la integral. $$ \int_{-b}^{b} f(x) dx = \int_0^b f(x) + f(x) dx = \int_0^b 0 dx\;\;\text{impar}\\ \int_{-b}^{b} f(x) dx = \int_0^b f(x) + f(x) dx = \int_0^b 2f(x) dx\;\;\text{par} $$

Answer 5

La intuición de esto viene de las fotos (aunque también podría ser probado rigurosamente). Si una función es incluso entonces es simétrica con respecto al eje y. Por lo tanto, al integrar es sólo la necesidad de integrar la mitad de la misma (mayor que cero parte o menos de cero) y el doble de su respuesta.

Si la función es impar, también es simétrica con respecto al eje y esperar este tiempo, uno es el lado negativo de la otra. Esto significa que al agregar la integral de las dos mitades se cancelará y obtendrá cero como su respuesta.