$Ax=b$ ¿qué significa resolverlo?

Question

Hemos repasado cómo resolver el sistema de ecuaciones conocido como $Ax=b$ . En el sitio web $A$ es una matriz, $x$ es un vector y $b$ es un vector. Entiendo que si tenemos $A$ y $b$ debemos averiguar qué $x$ es, esto sucede a través de la eliminación de Gauss-Jordan, la sustitución de la espalda, etc.

¿Qué hace resolver el sistema lineal de ecuaciones realmente media ¿pero? ¿Es el punto en el espacio donde todos los vectores de $A$ y para qué será útil (¡se agradecen los ejemplos de la vida real!).

Answer 1

Un sistema $$Ax=b\tag{1}$$ de ecuaciones en incógnitas $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ implícitamente define el subconjunto $$S:=\{x\in{\mathbb R}^n\>|\>Ax=b\}\quad\subset{\mathbb R}^n\ .$$ "Implícitamente" significa que para cualquier $x\in{\mathbb R}^n$ es fácil comprobar si es un elemento de $S$ o no (sólo hay que calcular $Ax$ y comprobar si se trata de $=b$ ); pero no se tiene a priori una visión completa sobre este conjunto $S$ .

Resolver el sistema $(1)$ (o un sistema similar que contenga ecuaciones de naturaleza más complicada) significa obtener esa visión de conjunto. Si $S$ es, de hecho, el conjunto vacío, quiere una prueba de este hecho; si $S$ contiene sólo un número finito de puntos se quiere una lista explícita de estos puntos, etc.

En álgebra lineal el caso favorito es cuando $S$ es un conjunto de un elemento $\{a\}$ ; a continuación, llamamos a $a$ "la" solución de $(1)$ . Pero ocurre muy a menudo que $S$ es un conjunto infinito; por ejemplo, un plano bidimensional incrustado en ${\mathbb R}^n$ . En este caso se desea un "esquema de producción" explícito con un cierto número de variables libres, es decir, una representación paramétrica de $S$ que genera cada punto de $S$ exactamente una vez. En el caso de que $S$ es un plano bidimensional tal representación paramétrica tiene el aspecto siguiente $$S:\quad(u,v)\mapsto x:=a+up+vq \qquad\bigl((u,v)\in{\mathbb R}^2\bigr)\ ,\tag{2}$$ por lo que los vectores $a$ , $p$ , $q$ tienen que ser calculados a partir de los datos $A$ y $b$ . (Tenga en cuenta que el mismo $S$ tiene muchas representaciones diferentes $(2)$ .)

Answer 2

Bien, supongamos que quieres resolver $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$ . Como saben, estamos tratando de encontrar el vector $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$ que hace que esta ecuación funcione.

Bueno, si has calculado la multiplicación en $Ax$ y luego reordenado un poco, se vería que el producto de la izquierda es justo:

$$x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$

que da la ecuación

$$x \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 5 \\ 9 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ 7 \\ \end{bmatrix}.$$

Así que lo que estamos haciendo al resolver $Ax = b$ es encontrar los escalares que permiten $b$ se escriba como una combinación lineal de las columnas de $A$ . En otras palabras, ¿cómo es $b$ representado en el tramo de las columnas de $A$ (es decir, el espacio de columnas de $A$ )?

Si no hay solución a la ecuación, entonces debe ser que $b$ no está en el espacio de columnas de $A$ .

Answer 3

Dada una ecuación matricial $$A {\bf x} = {\bf y},$$ donde $A$ es $m \times n$ , $\bf x$ es $n \times 1$ (por lo que escribimos ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ ), y $\bf y$ es $m \times 1$ ( ${\bf x} \in \mathbb{R}^m$ ), hay varias interpretaciones, entre ellas:

• Si pensamos en la matriz $A$ como el mapa $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ definido por ${\bf u} \mapsto A{\bf u}$ entonces una solución es cualquier vector ${\bf x} \in \mathbb{R}^n$ que la función mapea a $b$ .

• Si pensamos en las columnas de $A$ como vectores en $\mathbb{R}^n$ una solución es un vector ${\bf x} = (x_1, \ldots, x_n)^T$ cuyos componentes son los coeficientes de una combinación lineal de las columnas $({\bf a}_j)$ de $A$ que dan $\bf b$ o, más exactamente, son tales que $${\bf b} = x_1 {\bf a}_1 + \cdots + x_n {\bf a}_n.$$

• Si pensamos en las filas de $A$ como vectores (de fila) $(a_{i1}, \ldots, a_{in})$ en $\mathbb{R}^m$ y escribir ${\bf b} = (b_1, \ldots b_m)$ entonces el $i$ de la fila del sistema lineal es una ecuación (escalar) $$a_{i1} x_1 + \cdots + a_{in} x_n = b_i,$$ que define un hiperplano en $\mathbb{R}^n$ . Un vector ${\bf x}$ es una solución de esta ecuación escalar si se encuentra en este hiperplano, y por lo tanto es una solución del sistema original (que ahora vemos que consiste en $m$ ecuaciones separadas) precisamente si se encuentra en la intersección de estos hiperplanos.

Es difícil exagerar la importancia de la resolución de ecuaciones lineales, y del álgebra lineal en general. Son totalmente omnipresente , tanto porque

1. muchas reglas fundamentales de la naturaleza son en sí mismas lineales, y
2. muchos problemas pueden ser bien aproximados por ecuaciones lineales (típicamente más fáciles), al menos en algún dominio.

Algunas aplicaciones (esta lista no puede pretender ser exhaustiva, ni siquiera representativa) son:

• En informática gráfica, cálculo de rotaciones y deformaciones de objetos físicos.
• En estadística, encontrar las mejores aproximaciones para los modelos que implican varias variables.
• En informática, cálculo de la relevancia de las páginas para la búsqueda en la web.
• En matemáticas industriales, procesos de planificación.
• En mecánica cuántica, describe la interacción de las partículas.

Y realmente,

• Una parte importante de los cálculos multivariantes en economía, ingeniería mecánica, electrónica, ...

Answer 4

Hay formas productivas de pensar en las soluciones del sistema lineal $Ax = b$ geométricamente. Ya hay un enlace arriba sobre esto.

Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones de los sistemas lineales no son geométricas. Aparecen en todos los ámbitos en los que existe algún tipo de modelización matemática: física, química, biología, medicina, epidemiología, informática, todo tipo de ingeniería, así como finanzas y economía. Los sistemas lineales también aparecen en campos tan dispares como la ciencia política, la geografía o la literatura, donde recientemente se han construido modelos estadísticos para determinar si un texto fue escrito por Shakespeare. Y, por supuesto, también es una herramienta útil en todo tipo de matemáticas superiores.

Saber resolver $Ax = b$ es una herramienta básica en su caja de herramientas cuantitativas.