¿Cómo puedo trabajar la desviación estándar de una distribución t?

Question

Dada una distribución t con ciertos grados de libertad, ¿cómo puedo trabajar de lo que la desviación estándar de la distribución es?

Answer 1

Usted puede obtener la desviación estándar de población mediante el cálculo de la varianza a través de la integración y, a continuación, tomar la raíz cuadrada. (No es la única forma posible para calcular la varianza, pero es bastante habitual la integración de este problema).

Suponiendo que se tiene una t$_{(\mu,\sigma^2,\nu)}$ de distribución, que puede sustituir a $\mu$ 0 sin cambiar la varianza. Usted puede volver a parametrizar para deshacerse de $\sigma$ (la varianza es $\sigma^2$ veces mayor que la de un estándar t). Tenga en cuenta que $\nu$ son los grados de libertad. La ubicación de $\mu$ sólo será la media cuando existe y $\sigma$ es un parámetro de escala, sino $\sigma^2$ no es la varianza.

Así que te dejan con la búsqueda de la varianza de un estándar de t$_\nu$.

$$f(x) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu+1}{2}},$$

Así

$$\int_{-\infty}^\infty x^2f(x)dx = 2c\int_0^\infty x^2(1+\frac{x^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}dx$$

donde $c$ es el término constante de la parte frontal. Hay un número de maneras de acercarse.

Podría escribir que como $2c\nu$ veces una integral con $x^2/\nu$, luego agregar 1 y restar 1, tire hacia fuera de la -1 término en un aparte integral (fácil de hacer), así que al final termina con un poder diferente (y por lo tanto diferentes $\nu$, $\nu^*$ decir). Usted, a continuación, cambiar la escala de $x$ nuevo $\nu^*$ y tire de la constante apropiada para dejar algo de veces $\int_0^\infty (1+\frac{x^2}{\nu^*})^{-\frac{\nu^*+1}{2}}dx$, proveer la información requerida constante para hacer que un pdf (multiplicar y dividir por por el constante), cancelar la integral de un pdf, y te dejan con términos constantes ser una función de $\nu$.

Una alternativa sería la de reconocer algo como una beta de la segunda clase en la integral de la $\int_0^\infty x^2(1+\frac{x^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}dx$. O hay otros enfoques para hacer la integral.

El resultado requerido se da en la página de Wikipedia para la distribución, aunque, por lo que si usted simplemente necesita el resultado para el estándar de t, usted puede conseguir allí -$\text{Var}(X)=\frac{\nu}{\nu-2}$, lo $\text{sd}(X)=\sqrt{\frac{\nu}{\nu-2}}$.

Answer 2

Aquí es el genérico de la ecuación de desviación estándar asumiendo que usted tiene solo una muestra de toda la población.

$$\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

1. Obtener la media de la distribución ($\bar{x}$)
2. Restar la media de cada número en el vector ($x_i$) y de la plaza, el resultado $(x_i - \bar{x})^2$
3. Suma los resultados y se multiplica por (1/total_number - 1) ($\frac{1}{n-1}$)
4. Tomar la raíz cuadrada

Si usted tiene la totalidad de la población, la ecuación es:

$$\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}$$