Grupo la pregunta: sólo uno de los elementos $x$ con el fin de $n>1$, $x\in Z(G)$

Question

Sólo traté de resolver esta pregunta en un examen:

Deje $G$ ser un grupo con un solo elemento $x$ de fin de $n$, $n$ natural. Mostrar que $x\in Z(G)$. (Yo estoy usando la notación multiplicativa)

$Z(G)$ es el subconjunto de G tal que a cada elemento de a $Z(G)$ conmutan con todos los elementos de G (llamado el Centro de G).

Traté de hacerlo así: Supongamos que x no conmuta con al menos un $g\in G$. A continuación,$xg\neq gx\rightarrow x\neq gxg^{-1}$. A continuación,

$x^n\neq (g x g^{-1})^n=g x g^{-1}g x g^{-1}...g x g^{-1}=xx...x=gx^ng^{-1}=1$

Observe que $g x g^{-1}$ no tiene una orden de $n < m$ porque su orden depende exclusivamente de la orden de $x$,$n$.

Eso significa que hay dos elementos distintos en $G$ con el fin de $n$, lo cual es una contradicción.

Alguien me puede decir si se hizo correctamente?

Answer 1

usted debe saber que para cualquier $g\in G$ el orden de $g^{-1}xg$ igualdad con el fin de x, de forma que para cualquier $g\in G$ $g^{-1}xg=x$ luego tenemos a $x\in Z(G)$