Contando las soluciones a x^{p+1}=y^4 en un campo finito

Question

Necesito calcular el número de soluciones de la ecuación de $x^{p+1} = y^4$ en el campo con $p^2$ elementos (por p lo suficientemente grande). La forma de la ecuación me sugiere que la solución dependerá de la congruencia de la clase de p mod 4, pero tengo razones para creer que la respuesta es un único polinomio en p.

Me siento como si esto debería ser fácil, y me falta un método obvio. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Sea g ser un generador del grupo multiplicativo del campo; suponiendo que x e y son distintos de cero, podemos escribir x=g^un y y=g^b con 0 <= a,b < p²-1, y entonces x^p+1=y⁴ se convierte en g^(p+1)=g^4b, o lo que es equivalente a(p+1) = 4b (mod p²-1).

De esto podemos ver que p+1 | 4b es necesario, y si 4b=k(p+1), entonces (a,b) da una solución si a=k (mod p-1). Ya que una puede ir de 0 a p²-2, 0 soluciones o p+1 soluciones para cualquier fijo b. El número total de cero soluciones es, por tanto, (p+1)* #{b | p+1 divide 4b} y, a continuación, (x,y)=(0,0) es el resto de la solución.

Ahora bien, si p es 1 (mod 4) tenemos p+1 | 4b iff b es un múltiplo de (p+1)/2, y hay 2(p-1) b a p²-1, por lo que hay 2(p-1)(p+1)+1 = 2p²-1 soluciones.

Por otro lado, si p es 3 (mod 4), entonces p+1 | 4b iff b es un múltiplo de (p+1)/4, por lo que tenemos 4(p-1) b y hay 4p²-3 soluciones.