Los números naturales $1,2,...,n^2$ están dispuestos en un $nXn$ tablero de ajedrez. De cuántas maneras podemos organizar los números de tal manera que los números de cada fila y de cada columna están en progresión aritmética? Sé que $1$ tiene que ser puesto en una de las esquinas. También he observado que los criterios dados se mantiene si los números están ordenados uno tras otro como $1^{st}$ fila- $1,2,...,n$. $2^{nd}$ fila- $n+1....2n$ y así sucesivamente. De esta manera obtengo $4$ diferentes maneras(por la rotación de la placa). Tratando de demostrar que estas son las únicas formas posibles. Estoy en el camino correcto? Por favor explique.
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JiminyCricket
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El caso de $n=1$ es trivial.
El caso de $n=2$ es especial; en este caso, todos los $4!=24$ arreglos de cumplir las condiciones.
Ahora suponga $n\ge3$. Ya sabes que $1$ tiene que ser en una de las esquinas (porque de lo contrario no tendría que ser no-números positivos a un lado de ella). Ya que podemos rotar y reflejar cualquier solución, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $1$ está en la esquina $(0,0)$.
Por razones similares, $2$ debe ser próxima a $1$ o, también, en una esquina. Es claro que no puede estar en un lado de la esquina; pero también puede estar en la esquina opuesta, ya que requeriría $(n-1)d=1$ donde $d$ es la suma de las diferencias común de la izquierda de la columna y la fila inferior, lo cual es imposible para $n\ge3$. Por lo tanto $2$ es próximo a $1$, y sin pérdida de generalidad podemos suponer que lo que está a la derecha de $1$,$(1,0)$. Que corrige la primera fila.
De nuevo por razones similares, $n+1$ tiene que ser en una de las esquinas del rectángulo restante. El único que funciona es $(0,1)$. Que corrige la primera columna.
De nuevo por razones similares, $n^2$ debe ser en una esquina. Sólo hay una esquina a la izquierda, $(n-1,n-1)$, por lo que es de donde debe ir. Que corrige la última fila y la columna, y luego todo lo demás está determinado por la progresión aritmética condiciones.
Así, por $n\ge3$, de hecho hay sólo el $8$ acuerdos obtenidos a partir de la norma de acuerdo por las rotaciones y reflexiones.
user21820
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Si $n \ge 2$ $8$ son las únicas posibilidades. Primero probar que la condición de progresiones aritméticas significa que si la celda $(0,0)$ es la parte superior izquierda, el cual debe contener $1$, y la celda $(1,0)$ contiene $1+a$ celular y $(0,1)$ contiene $1+b$ luego de la célula $(x,y)$ debe contener $1+ax+by$ para cualesquiera enteros positivos $x,y < n$. Claramente $1 \le a,b \le n$$a \ne b$. Basta considerar el caso en que $a < b$, desde el otro caso es sólo una reflexión a través de la diagonal. Si $b < n$, la celda $(0,a)$ celular y $(b,0)$ ambos contienen $1+ab$, lo cual no está permitido. Por lo tanto,$b = n$. Por lo tanto $a = 1$ de lo contrario, ninguna célula contiene $2$. [Probarlo!]
