Necesito encontrar un buen contorno para $\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2(x)}{a + b\cos(x)}\ dx$ pero no sé cuál elegir. Tanto un semicircular, y el contorno rectangular se ven feos para esto.
He estado mirando un contorno semicircular de radio $2\pi$ Pero entonces tengo el problema de que no sé si la singularidad está dentro o fuera de la región cerrada.
Si le sirve de ayuda, la respuesta es $\frac{2\pi}{b^2}\left[a - \sqrt{a^2 - b^2}\right]$
Obsérvese que la integral diverge para $a\le b$ . Por lo tanto, asumimos a lo largo del desarrollo que $a>b$ .
Podemos simplificar la tarea reescribiendo el integrando como
$$\begin{align} \frac{\sin^2(x)}{a+b\cos(x)}&=\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}\cos(x)-\left(\frac{a^2-b^2}{b^2}\right)\frac{1}{a+b\cos(x)} \end{align}$$
Entonces, la integral de interés se reduce a
$$\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2(x)}{a+b\cos(x)}\,dx=\frac{2\pi a}{b^2}-\frac{a^2-b^2}{b^2}\int_0^{2\pi}\frac{1}{a+b\cos(x)}\,dx \tag 1$$
Aplicamos la sustitución $z=e^{i x}$ en la integral del lado derecho de $(1)$ y obtener
$$\begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{1}{a+b\cos(x)}\,dx& =\oint_{|z|=1}\frac{1}{a+b\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)}\frac{1}{iz}\,dz\\\\ &=\frac2{ib}\oint_{|z|=1}\frac{1}{(z+(a/b)-\sqrt{(a/b)^2-1})(z+(a/b)+\sqrt{(a/b)^2-1})}\,dz\\\\ &=2\pi i \frac2{ib} \frac{1}{2\sqrt{(a/b)^2-1}}\\\\ &=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}} \end{align}$$
Juntándolo todo, la integral de interés es
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2(x)}{a+b\cos(x)}\,dx=\frac{2\pi}{b^2}\left(a-\sqrt{a^2-b^2}\right)}$$
¡como se iba a demostrar!
(+1), Aparentemente hay más en este problema de lo que parece a primera vista. He incluido algunos de álgebra para ayudar a la OP.
He aquí un enfoque en el que no simplificamos antes la integral pasar a variables complejas.
Supongamos que queremos evaluar $$\int_0^{2\pi} \frac{\sin^2 x}{a+b\cos x} dx.$$
Ponga $z=e^{ix}$ para que $dz = i e^{ix} \; dx = iz \; dx$ y utilizar $$\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \quad\text{and}\quad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
para obtener $$- \int_{|z|=1} \frac{(z-1/z)^2/4}{a+b(z+1/z)/2} \frac{1}{iz} dz = i \int_{|z|=1} \frac{(z-1/z)^2/4}{bz^2/2 + az + b/2} \; dz \\ = i \int_{|z|=1} \frac{1}{4z^2} \frac{z^4-2z^2+1}{bz^2/2 + az + b/2} \; dz.$$
Los dos polos están en $$\rho_{1,2} = \frac{-a\pm\sqrt{a^2-b^2}}{b} = \frac{a}{b} \left(-1\pm\sqrt{1-b^2/a^2}\right).$$
Hay otro poste en $z=0$ con residuos $$\frac{1}{4} \left.\frac{4z^3-4z}{bz^2/2 + az + b/2} - \frac{1}{4} \frac{z^4-2z^2+1}{(bz^2/2 + az + b/2)^2} (bz+a)\right|_{z=0} = - \frac{a}{b^2}.$$
Ahora hay varias posibilidades aquí, discutimos dos de ellas.
Primer escenario. Supongamos que $a$ y $b$ son reales y $a\le b.$ Obtenemos
$$|\rho_{1,2}| =\left| \frac{-a\pm i\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right| = \sqrt{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2-a^2}{b^2}} = 1.$$
Esto significa que los dos polos se encuentran precisamente en el contorno circular así que lo mejor que podemos esperar es obtener el Valor Principal de Cauchy de la de la integral. Se trata de polos simples, por lo que la contribución es la mitad del residuo para ambos polos. Ahora calculamos estos residuos.
$$\mathrm{Res}_{z=\rho_{1,2}} \frac{1}{4z^2} \frac{z^4-2z^2+1}{bz^2/2 + az + b/2} = \frac{(\rho_{1,2}^2-1)^2}{4\rho_{1,2}^2} \frac{1}{b\rho_{1,2} + a}.$$
Ahora tenemos por definición que $$\rho_{1,2}^2 = -2a\rho_{1,2}/b - 1 \quad\text{and hence}\quad \frac{\rho_{1,2}^2-1}{\rho_{1,2}} = -2\frac{a}{b} - \frac{2}{\rho_{1,2}}.$$
Además $$- \frac{1}{\rho_{1,2}} = 2\frac{a}{b} + \rho_{1,2} \quad\text{and therefore}\quad \frac{\rho_{1,2}^2-1}{\rho_{1,2}} = 2\frac{a}{b} + 2\rho_{1,2}.$$
Cuadra esto para obtener
$$4\frac{a^2}{b^2} + 8 \frac{a}{b}\rho_{1,2} + 4\rho_{1,2}^2 \\ = 4\frac{a^2}{b^2} + 8 \frac{a}{b}\rho_{1,2} -8\frac{a}{b}\rho_{1,2} - 4 = 4\frac{a^2}{b^2} - 4.$$
Finalmente se obtiene para los dos residuos
$$\left(\frac{a^2}{b^2} - 1\right)\frac{1}{b\rho_{1,2}+a} = \pm \frac{a^2-b^2}{b^2} \frac{1}{\sqrt{a^2-b^2}} = \pm \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}.$$
Recordemos que actualmente estamos evaluando el caso en el que ambos polos son en el contorno. Por tanto, obtenemos para el valor
$$i\times 2\pi i \times \left(-\frac{a}{b^2} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b^2} - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}\right) = \frac{2\pi a}{b^2}.$$
Segundo escenario. Por otra parte, cuando $a\gt b$ ponemos $b/a=q$ con $0\lt q\lt 1$ un número real positivo. Obtenemos
$$\rho_{1,2} = \frac{1}{q} \left(-1 \pm \sqrt{1-q^2}\right).$$
Nótese, sin embargo, que con la determinación positiva de la raíz cuadrada que hemos estado utilizando tenemos que $-1-\sqrt{1-q^2} \lt -1$ y $1/q \gt 1$ por lo que su producto es un real negativo menor que $-1.$ Por lo tanto $\rho_2$ no está dentro del contorno. Ahora
$$\rho_1\rho_2 = \frac{(-a)^2-(a^2-b^2)}{b^2} = 1$$
y por lo tanto $\rho_1$ es la inversa de $\rho_2.$ Con $|\rho_2|>1$ we obtenemos $|\rho_1|<1.$ Por lo tanto, el polo en $\rho_1$ es el único de los dos dentro del contorno y obtenemos
$$i\times 2\pi i \times \left(-\frac{a}{b^2} + \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b^2}\right) = \frac{2\pi}{b^2} \left(a-\sqrt{a^2-b^2}\right).$$
Se dejan otras hipótesis al lector.
Marko, había empezado a plantear esto como tú, y decidí que era bastante más fácil reducir la integral a una forma más simple. +1 por tomar la ruta de la fuerza bruta. -Mark
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