A veces, pero no siempre, cuantificadores distribuir a través de operaciones lógicas. Determinar cuáles de los siguientes pares de enunciados son equivalentes. En el caso de nonequivalent pares, dar un ejemplo de funciones proposicionales $P(x)$ $Q(x)$ para que los pares de afirmaciones no son equivalentes.
Esto es lo que escribí.
una. $(\forall x)[P(x) \land Q(x)]$ $(\forall x)P(x) \land (\forall x)Q(x)$
A la izquierda: No existe todos los valores de $x$$P(x)$$Q(x)$.
Razón: No existe todos los valores de $x$$P(x)$, y existen todos los valores de $x$ $Q(x)$
Ejemplo: Vamos a $P(x)$ = números positivos y $Q(x)$ = $x^2 \geq 0$
Todos los valores de $x$ son números positivos y satisfacer $x^2 \geq 0$.
Todos los valores de $x$ son números positivos y todos los valores de $x$ satisfacer $x^2 \geq 0$.
Estas declaraciones son equivalentes.
b. $[\exists x][P(x) \land Q(x)]$ $(\exists x)P(x) \land (\exists x)Q(x)$
A la izquierda: Allí existe algunos valores de $x$$P(x)$$Q(x)$.
A la derecha: Allí existe algunos valores de $x$$P(x)$, y existen algunos valores de $x$$Q(x)$.
Ejemplo: Vamos a $P(x)$ = números negativos y $Q(x)$ = $x^2+8x+12=0$.
Algunos valores de $x$ son números negativos y satisface $x^2+8x+12=0$.
Algunos valores de $x$ son números negativos y algunos valores de $x$ satisfacer $x^2+8x+12=0$
Estas declaraciones son equivalentes.
c. $(\forall x)[P(x) \lor Q(x)]$ $(\forall x)P(x) \lor (\forall x)Q(x)$
A la izquierda: No existe todos los valores de $x$ $P(x)$ o $Q(x)$.
Razón: No existe todos los valores de $x$ $P(x)$ o existe todos los valores de $x$$Q(x)$.
Ejemplo: Vamos a $P(x)$ = números positivos y $Q(x)$ = números negativos.
Todos los valores de $x$ son números positivos o negativos de los números.
Todos los valores de $x$ son números positivos o todos los valores de $x$ son números negativos.
Estas declaraciones son equivalentes.
Edit: se me parte podría ver por qué este problema no es equivalente.
$(\forall x)[P(x) \lor Q(x)]$ $(\forall x)P(x) \lor (\forall x)Q(x)$
La primera parte sería para todos $x$ $P(x) \lor Q(x)$ y la segunda parte sería para todos los $x$ $P(x)$ o para todos los $x$ $Q(x).
Todos los valores de x deben ser válido para $P(x)$ o $Q(x)$. Parece que estoy eligiendo $P(x)$ o $ Q(x)$ pero todo lo que para x para sostener las necesidades. Esto podría funcionar para la segunda parte, pero no por la primera. Así, tal vez podría dar esto como un ejemplo.
$P(x) = x^2 \geq 0$ $Q(x) = x \le 0$ ? Todos los $x$ es positivo en $P(x)$ o todos los $x$ es negativo en $Q(x)$, pero este no puede trabajar por $(\forall x)[P(x) \lor Q(x)]$ Es como decir que todos los $x$ satisfacción $P(x)$ o $Q(x)$, pero los números positivos no trabajo para $x \le 0$ y los números negativos no trabajo para $x^2 \geq 0$
d. $[\exists x][P(x) \lor Q(x)$ $[\exists x][P(x) \lor [\exists x][Q(x)].$
A la izquierda: Allí existe algunos valores de $x$ $P(x)$ o $Q(x)$.
Razón: No existe para algunos valores de $x$ $P(x)$ o existe alguna valores de$x$$Q(x)$.
Ejemplo: Vamos a $P(x)$ = números positivos y $Q(x)$ = $x^2-6x+8=0$
Hay algunos valores de $x$ que son números positivos o satisfacer $x^2-6x+8=0$
Hay algunos valores de $x$ que son números positivos o hay algunos valores de $x$ que satisfacer $x^2-6x+8=0$
Estas declaraciones son equivalentes.
e. $(\forall x)[P(x) \rightarrow Q(x)]$ $(\forall x)P(x) \rightarrow (\forall x)Q(x)$
A la izquierda: Si todos los valores de $x$ satisfacer $P(x)$, entonces debe satisfacer $Q(x)$.
A la derecha: Si todos los valores de $x$ satisfacer $P(x)$, entonces todos los valores de $x$ debe satisfacer $Q(x)$.
Ejemplo: Si $x = 2$ satisface $P(x)$, $x = 2$ debe satisfacer $Q(x)$
Estas declaraciones son equivalentes.
Edit: para e.. (∀x)[P(x)→Q(x)] y (∀x)P(x)→(∀x)Q(x) de La primera parte significa que si P entonces Q para todo x. La segunda parte significa que Si para todo x en P, entonces para todo x en P. Esto no es equivalente. La segunda parte arroja todo lo que fuera tal vez el ejemplo debería ser que si me levanto temprano todos los días, entonces voy a la escuela. P(x) = levantarse temprano todos los días y Q(x) = ir a la escuela, la segunda parte sería que tengo que despertarme temprano todo el tiempo e ir a la escuela todo el tiempo. Yo no voy a la escuela los fines de semana. De hecho, está cerrado los domingos. tendría que ser de derecha?
para revisar un poco... me podría poner que si me levanto temprano todos los días, a continuación, voy a la escuela por (∀x)[P(x)→Q(x)]...la segunda parte iba a decir que si me levanto temprano todos los días, entonces voy a la escuela cada día de la semana. A veces hay fiestas, no hay vacaciones de Primavera, o podría estar enfermo.
f. $(\forall x)[P(x) \leftrightarrow Q(x)]$ $(\forall x)P(x) \leftrightarrow (\forall x)Q(x)$
A la izquierda: Todos los valores de $x$ están satisfechos si y sólo si $P(x)$ se encuentra dentro de $Q(x)$.
A la derecha: Si todos los valores de $x$ satisface $P(x)$, entonces todos los valores de $x$ satisface $Q(x)$ Por el contrario, si todos los valores de $x$ satisface $Q(x)$, entonces todos los valores de $x$ satisface $P(x)$.
Editar:
Para, $(\forall x)[P(x) \leftrightarrow Q(x)]$
- Para todo x, no es $P(x)$ si y sólo si no es $Q(x)$
Necesitamos construir una tabla de verdad. Si P es P, entonces es una tautología. También, si P es P, entonces es una tautología.
Para, $(\forall x)P(x) \leftrightarrow (\forall x)Q(x)$
Deje $P(x)$ = divisible por 4 $Q(x)$ = divisible por 8.
- Si cada x es $P(x)$, entonces cada x es $Q(x)$. Si cada x es divisible por 4, entonces cada x es divisible por 8.
Esto sólo es cierto para algunos x. Por ejemplo, supongamos $x = 24$. Si 24 es divisible por 4, entonces el resultado es 6. También, si 24 es divisible por 8, entonces el resultado es 3.
Si dejamos $x = 36$, sería divisible por 4, pero no 8.
- Si cada x es $Q(x)$, entonces cada x es $P(x)$.
Si cada x es divisible por 8, luego cada x es divisible por 4.
Esta condición sólo funciona para ciertos valores de x.
Deje $ x = 48$. Si 48 es divisible por 8, entonces el resultado es 6. Si 48 es múltiplo de 4, entonces el resultado es 12.
Si dejamos $ x = 28$, es divisible por 4, pero no divisible por 8.
Como resultado, estas declaraciones no son equivalentes.
Esto no es correcto. Sé que yo podría traducir, pero dando ejemplos, obviamente no es una manera decente de hacer una prueba para este tipo de problema. ¿Qué hice mal? ¿Cómo puedo demostrar realmente que estos pares son equivalentes? ¿Tengo que usar las reglas de los cuantificadores?
