Centralizador de un elemento en un Cartan subalgebra es reductivo.

Question

Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra con Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$ y sistema radicular $\Phi$. Mostrar que $C_\mathfrak{g}(h)$ es reductiva, que es $Z(C_\mathfrak{g}(h))=Rad(C_\mathfrak{g}(h))$, para todos los $h\in\mathfrak{h}$.

Para mayor brevedad, puesto $C=C_\mathfrak{g}(h)$, $Z=Z(C)$, y $R=Rad(C)$. Obviamente $Z$ es una solución ideal en $C$, por lo que sólo tiene para mostrar es máxima. Hay una "buena" manera de mostrar maximality?

Answer 1

En caso de que usted todavía está interesado, he aquí una sugerencia: tenga en cuenta que $\mathfrak h \subseteq \mathrm C_{\mathfrak g}(h)$. Buscar en la raíz del sistema de $\mathrm C_{\mathfrak g}(h)$, y observar que es simétrica. Demostrar que esto es suficiente para hacer de $\mathrm C_{\mathfrak g}(h)$ reductivo.