El problema: Supongamos que definimos el Conjunto de Mandelbrot como lo siguiente
Para $c \in \mathbb{C}$ , $\mathbb{M}$ = $({c:|c| \leq 2}) \cap ({c: |c^2 + c| \leq 2}) \cap ({c: |(c^2+c)^2 + c| \leq 2}) \cap ...$
Argumentar cuidadosamente que cada conjunto en esta intersección de conjuntos es un subconjunto cerrado del Plano Complejo. Con esto, demuestre que el Conjunto de Mandelbrot es cerrado.
El intento - Así que para cada $i \in \mathbb{N} $ podemos escribir este conjunto como lo siguiente:
$\mathbb{M}= (c \in \mathbb{C} : |Q_{c}^{n} (0)| \leq 2)$ , para $i \geq 1$ que $Q_{c} (z) = z^2+c$ . Ahora bien, si vamos a demostrar que el conjunto es cerrado, podemos demostrar que el complemento de cada conjunto es abierto, lo que es para cada $i$ , $\mathbb{M}^{c}= (c \in \mathbb{C} : |Q_{c}^{n} (0)| > 2)$ , para $i \geq 1$ .
Para demostrar que cada conjunto es abierto, podemos encontrar una vecindad ε de cualquier punto, $z_{0} \in \mathbb{M^c}$ para lo cual $N(z_{0}, ε) \subseteq \mathbb{M} ^{c}$ .
Puedo definir $ε = max ({2, |z_{0}|})$ y eso es todo lo que tengo hasta ahora.
No estoy seguro de estar en el camino correcto. Sin embargo, había una pista para este problema que no sé qué significa (Pista: Si $F : \mathbb{C} \mapsto \mathbb{R}$ es una función continua, entonces para cada $b \in \mathbb{R}$ , el conjunto $(c \in \mathbb{C} : F(c) \leq b)$ . ¿Es este el barrio que debía definir?
Muchas gracias por su ayuda.
