Vacía funciones no inyectiva?

Question

Muchas fuentes dicen que vacía funciones tales como $f:\emptyset \rightarrow S$ son inyectiva porque es un vacío de la verdad. Pero actualmente me estoy leyendo un libro sobre la axiomática establecido por Patrick Suppes, y nos da una definición de un inyectiva(uno-a-a) la función que impide que cualquier función vacía de ser inyectiva. La definición de Suppes da es

$f$ es uno-a-uno $\leftrightarrow f$ $\breve{f}$ son funciones

Para aquellos que no saben lo $\breve{f}$ es, aquí está la definición de

$\breve{f}=\{\langle x,y \rangle: \langle y,x \rangle \in f \}$

De acuerdo a esta definición, cualquier vacío de la función no es inyectiva porque $\breve{f}:S \rightarrow \emptyset$ no es una función.

Es Suppes definición correcta o bien a pesar de que no permite que los vacíos de las funciones inyectiva o estoy algo me falta?

Answer 1

Esa es una buena pregunta, pero no estás en lo correcto.

La razón es que si $f\colon\varnothing\to S$,$f=\varnothing$. Por lo tanto,$\breve f=\varnothing$. Por lo tanto, $f=\breve f$ y ambos satisfacen la condición de ser una función.

Es cierto, sin embargo, que el $\breve f$ no es una función cuyo dominio es $S$ (a menos que $S$ está vacía). Y tenga en cuenta que no debemos exigir es una función de $S$, porque entonces la función de $f(n)=n+1$ como una función de $\Bbb N$ sí no es inyectiva ya que es simple, absurda.

También, existe una única función vacía. El conjunto vacío.

Answer 2

Si $f$ es la función vacía, entonces también lo es $\breve f$. Su dominio, sin embargo, no es $S$, pero el conjunto vacío. Así que, a menos que Suppes, dijo que el dominio de la $\breve f$$S$, su definición es correcta. (Si él había requerido $\breve f$ a tener el dominio $S$, la definición sería malo no sólo para la función vacía, sino para cualquier inyectiva función que no es surjective.)

Answer 3

Estamos de acuerdo en que una función de $f:A\to B$ es un subconjunto, $f\subset A\times B$ que satisface las condiciones (que no necesitamos repetir). Supongamos ahora que $A=\emptyset$. Entonces el conjunto, $\emptyset\times B$ sí, es el conjunto vacío ya que no es la manera de hacer un par si no podemos poner algo en la primera ranura. Por lo $f=\emptyset$. Pero también tenemos $\breve{f}$ deben ser un subconjunto de a $B\times\emptyset$, que debe ser el conjunto vacío. Pero el conjunto vacío es de hecho una función de un conjunto vacío de cualquier otro conjunto.