Obligado por la analítica de la función de la unidad de disco perforado en la unidad de disco

Question

Supongamos $f$ es analítica en la unidad de disco $D$ y satisface $0<|f(z)|<1$. Mostrar que $|f(z)|\leq|f(0)|^{\frac{1-|z|}{1+|z|}}$ todos los $z\in D$.

Traté de trabajar con $\log|f|$. Parece que $\log|f|$ es armónico, pero no pude obtener las estimaciones.

Answer 1

Siguiendo tu idea, vamos a $g=-\log|f|$. A continuación, $g$ es positiva y armónica de la función, así que usted puede aplicar la desigualdad de Harnack a $g$ a deducir que $g(z)\ge g(0)\frac{1-|z|}{1+|z|}$.