Dejemos que $X$ denotan un espacio topológico. Entonces cada condición de la siguiente lista implica la siguiente.
Sé que 2 no implica 1 (ver aquí ). También supongo que el 3 no implica el 2. ¿Alguien conoce un ejemplo?
Un ejemplo es la topología cofinita en cualquier conjunto infinito $X$ . Dado que cualquier conjunto abierto no vacío omite a lo sumo un número finito de puntos, cada es un subconjunto compacto. Sin embargo, cualquier subconjunto propio infinito no es cerrado, por lo que hay subconjuntos compactos que no son cerrados. (Este espacio es claramente T 1 ya que todos los subconjuntos finitos son cerrados por definición).
Quizá el ejemplo más sencillo sea dejar que $p$ y $q$ sean puntos distintos que no estén en $\Bbb N$ , dejemos que $X=\Bbb N\cup\{p,q\}$ , hacer que cada punto de $\Bbb N$ aislado, y dar $p$ y $q$ abrir nbhds de la siguiente manera. Un conjunto $U\subseteq X$ es un nbhd abierto de $p$ si $p\in U$ y $\Bbb N\setminus U$ es finito, y $U$ es un nbhd abierto de $q$ si $q\in U$ y $\Bbb N\setminus U$ es finito. Esencialmente acabamos de hacer $\Bbb N$ una secuencia con dos puntos límite, $p$ y $q$ . Es fácil comprobar que $X$ es $T_1$ pero $\{p\}\cup\Bbb N$ y $\{q\}\cup\Bbb N$ son conjuntos compactos que no son cerrados: ambos son densos en $X$ .
Esta respuesta tiene un ejemplo algo más complicado en el que todas las secuencias convergentes tienen límites únicos. Y esta respuesta tiene otro ejemplo más complicado.
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