Sugerencia sobre cómo demostrar a $\zeta ( 2) =\pi ^{2}/6$ el uso de la compleja serie de Fourier de $f(x)=x$

Question

Sé cómo demostrar a $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ utilizando el trigonométricas de Fourier de expansión de la serie de $x^{2}/4$. ¿Cómo puede uno probar el mismo resultado mediante la compleja serie de Fourier de $f(x)=x$$0\leq x\leq 1$? Alguna sugerencia?

Answer 1

El uso de la definición:

Decir $f$ se define en $[-\pi, \pi]$.

Si $f(z) = \sum_{-\infty}^{\infty} {c_{n} e^{inz}}$

entonces

$c_{n} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f(z)e^{-inz}} dz$

Si pones $f(z) = z$, se puede trabajar de lo $c_{n}$ resulta ser?

Integrar, usted puede tratar de integración por partes.

Answer 2

Se extiende fuera de Aryabhatta respuesta:

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Para nuestra situación: Tenemos $f(x)=x ~~~{\text{ for }} 0\leq x\leq 1$

$2L=1,\Rightarrow L=\frac{1}{2}$

Para reafirmar tenemos:

$f(x) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} {c_{n} e^{inx}}, \text{ where }c_{n} = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{f(x)e^{-inx}} ~\mathrm{d}x,~~~~~~n=0,~\pm 1,~\pm 2, \cdots~ $

$ \Rightarrow~~ c_{n} = \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{xe^{-inx}}~\mathrm{d}x $

Después de integrar el complejo coeficiente de Fourier podemos ver que obtenemos los siguientes:

$\Rightarrow~~~~\displaystyle c_n=i\left(\frac{\cos(\frac{n}{2})}{2\pi n}-\frac{\sin(\frac{n}{2})}{\pi n^2}\right),~~~\text{for }n \in \mathbb{R}$

Por último volver a conectar $c_n$ a $f(x)$ a continuación, obtener nuestro resultado deseado para $n=0,~\pm 1,~\pm 2, \cdots~$.

Por favor, actualice si ves algún error con cualquiera de los trabajos. Ha sido bastante tiempo desde que trabajo con Series de Fourier y se fue de mi cabeza. Siéntase libre de modificar errores como sea necesario si se quiere.

Gracias.