Es el 2011th término extraño para esta secuencia y por qué así?

Question

$a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2} + n$, $n\ge2$, $a_0 = 1$ y $a_1 = 1$. Es $a_{2011}$ impar. Por qué así?

Esta no es una tarea problema. Estoy apareciendo para un examen pronto y yo estoy de problemas ejemplos de preguntas para el examen. No sé cómo vaya por delante la solución de este.

Hasta ahora me enteré $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ $a_7$ pero no podía detectar cualquier patrón.

$a_{2011} = a_{2010} \cdot a_{2009} + 2011~$. Así que voy a añadir un número impar con el producto, así que si o no el número es impar depende enteramente del producto. Esto es lo más lejos que podía pensar.

Answer 1

La paridad de $a_n$ no depende de $a_{n-2}$ si $a_{n-1}$ es incluso. Así que si $a_{2n}$ es incluso, a continuación, $a_{2n+1}$ debe ser impar. A continuación, $a_{2n+2}$ debe ser par. Así, el patrón se fija tan pronto como usted consigue $a_n$ incluso para una $n$. Pero $a_4=22$, por lo que para cualquier extraño $n>4$ tenemos $a_n$ impar. En particular, $a_{2011}$ es impar.

Answer 2

$a_n\bmod 2$ sólo depende de $a_{n-1}\bmod 2$, $a_{n-2}\bmod 2$, y $n\bmod 2$. Podemos describir la transición de $(n\bmod 2,a_{n}\bmod 2,a_{n-1}\bmod 2)\mapsto (n+1\bmod 2,a_{n+1}\bmod 2,a_{n}\bmod 2)$ por la siguiente tabla $$\begin{matrix}(0,0,0)&\mapsto&(1,1,0)\\(0,0,1)&\mapsto&(1,0,0)\\ (0,1,0)&\mapsto&(1,0,1)\\ (0,1,1)&\mapsto&(1,0,1)\\ (1,0,0)&\mapsto&(0,0,0)\\ (1,0,1)&\mapsto&(0,1,0)\\ (1,1,0)&\mapsto&(0,1,1)\\ (1,1,1)&\mapsto&(0,1,1)\\\end{de la matriz} $$ y comenzamos con $(1,1,1)$. La secuencia será finalmente periódico y esto le permite predecir el triple (y por tanto de la paridad de $a_n$) pertenecientes a $n=2011$.

Answer 3

Reclamo: para $n\ge 4$, $a_n $ es impar si n es par e impar si n es par.

Podemos verificar directamente, $a_4$ es que, aunque la $a_2=a_0a_1+2=odd*odd+even=odd $ mientras $a_3=a_1*a_2+3=odd*odd+odd=even $$a_4=a_2*a_3+4=a_2*even +even =even $.

Suponga $a_{n=2k} $ es incluso. A continuación,$a_{n+1}=a_{n-1}*a_n+(n+1)=a_{n-1}*even+odd=odd $, e $a_{n+2}=a_n*a_{n+1}+(n+2)=even*odd+even=even $.

Así que, por inducción, hemos demostrado nuestra reclamación. Por lo $a_{2011} $ es impar.

Answer 4

La secuencia tomado modulo $2$ es

$$1,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1\cdots$$

Ahora usted tiene su patrón.

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Cuando haya un factor en el producto, la paridad es que de $n$ $a_{2011}$ es impar.