Resuelva $10x^4-7x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)^2=0$

Question

¿Cómo se resuelve esta ecuación?

$$10x^4-7x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)^2=0$$

Mi intento:

$$ 10x^4 - (7x^2+1)(x^2+x+1)=0$$

Eso es todo lo que puedo

Actualización

Trató de abrir los frenos y simplificar:

$$(7x^2+1)(x^2+x+1) = 7x^4+7x^3+7x^2+x^2+x+1=7x^4+7x^3+8x^2+1 $$ $$10x^4 - (7x^2+1)(x^2+x+1)= 3x^4-7x^3-8x^2-1=0 $$

Answer 1

Set $A=x^2,B=x^2+x+1$ . Entonces.., $$ \begin {align}10x^4-7x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)^2&=10A^2-7AB+B^2 \\ &=(2A-B)(5A-B) \\ &=(2x^2-(x^2+x+1))(5x^2-(x^2+x+1)) \\ &=(x^2-x-1)(4x^2-x-1) \end {align}$$

Answer 2

$$10x^4-7x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)^2=0$$

Set $t=x^2,z=x^2+x+1$ .

$ \Longrightarrow $

$$ \begin {align}10t^2-7tz+z^2&=(2t-z)(5t-z) \\ &=(2x^2-(x^2+x+1))(5x^2-(x^2+x+1)) \\ &=(x^2-x-1)(4x^2-x-1) \end {align}$$

$$ \boxed { \color {red}{x_{1,2}= \frac {1}{2} \pm\frac { \sqrt5 }{2},\;x_{3,4}= \frac {1}{8} \pm \frac { \sqrt {17}}{8}}}$$

Answer 3

Dividir por $(x^2 + x + 1)^2$ la ecuación se convierte en: $$10 \frac {x^4}{(x^2 + x + 1)^2} - 7 \frac {x^2}{x^2 + x + 1} + 1 = 0$$ Deje que $z = \frac {x^2}{x^2 + x + 1}$ . La ecuación ahora es $$10z^2 - 7z + 1 = 0$$ Resolviéndolo como una ecuación cuadrática ordinaria en $z$ tienes a lo sumo dos raíces $z_{1,2}$ . Entonces deja $ \frac {x^2}{x^2 + x + 1} = z_1$ o, de forma equivalente, $$x^2 = z_1 (x^2+x+1)$$ Es una ecuación cuadrática en $x$ . Similares para $z_2$ . Las soluciones a estas dos ecuaciones son soluciones al problema inicial.

Answer 4

$10x^4-7x^2(x^2+x+1)+(x^2+x+1)^2=0$

Dividir por $x^4$ en ambos lados,

$10- \frac {7x^2(x^2+x+1)}{x^4}+ \frac {(x^2+x+1)^2}{x^4}=0$

$10-7(1+ \frac {1}{x}+ \frac {1}{x^2})+(1+ \frac {1}{x}+ \frac {1}{x^2})^2=0$

Ponga $(1+ \frac {1}{x}+ \frac {1}{x^2})=t$

$10-7t+t^2=0$ resolviendo que conseguimos $t=2,5$

cuando $t=2$

$1+ \frac {1}{x}+ \frac {1}{x^2}=2$

simplificamos lo que conseguimos, $x^2-x-1=0$ .............(1)

cuando $t=5$

$1+ \frac {1}{x}+ \frac {1}{x^2}=5$

simplificamos lo que conseguimos, $4x^2-x-1=0...........(2)$

Resuelva (1) y (2) y obtenga la respuesta.