Cómo mostrar que $(X(t)-\lambda t)^2 - \lambda t$ es una martingala, donde $X(t)$ es un Proceso de Poisson?

Question

Estoy tratando de mostrar que $(X(t)-\lambda t)^2 - \lambda t$ es una martingala, donde $X(t)$ es un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$. Hasta ahora, lo que he hecho es: \begin{align*} E\left((X(t)-\lambda t)^2 - \lambda t| \mathcal{F}_s\right)&= E\left(X(t)^2-2\lambda t X(t) + \lambda^2 t^2 - \lambda t| \mathcal{F}_s\right) \\ &=E\left((X(t)-X(s))^2| \mathcal{F}_s\right) + E\left(2X(t)X(s)| \mathcal{F}_s\right) - E\left(X(s)^2| \mathcal{F}_s\right) - E\left(2X(t)\lambda t| \mathcal{F}_s\right) \\ & + E\left(\lambda^2 t^2| \mathcal{F}_s\right) -\lambda t\\ &=E\left((X(t)-X(s))^2\right) + 2X(s)E\left(X(t)| \mathcal{F}_s\right) - X(s)^2 -\lambda t - 2 \lambda t E\left(X(t)| \mathcal{F}_s\right)+ \lambda^2 t^2\\ &= 2\lambda t - 2\lambda tX(s) + 2X(s)\left(X(s)+ \lambda(t-s)\right) -\lambda t - 2\lambda t\left(X(s) + \lambda (t-s)\right)+ \lambda^2 t^2\\ \end{align*}

No estoy seguro por que mi resultado no está funcionando. ¿Alguien tiene alguna idea de lo que estoy doign mal? Gracias!

Answer 1

Creo que todo lo que estamos haciendo es correcto, pero tal vez puede beneficiarse de la explotación de algunas cancelaciones así funcionan las cosas con más suavidad.

En la segunda línea, con seis términos, puedo reclamar si usted toma la primera, cuarta, quinta y sexta de los términos y la suma de ellos, se obtiene $$\boxed{ \lambda^2 s^2 -\lambda s -2\lambda t X_s}.$$ He utilizado esta agrupación, debido a que muchas de las cosas cancelar. También he utilizado el hecho de si $Y$ es una variable aleatoria de Poisson con una media de (parámetro) $\mu$, $E(Y^2)=\mu^2+\mu$.

Esto nos deja con la evaluación de la esperanza condicional de $$2X_sX_t - X_s=X_s(2X_t-X_s)=X_s(2(X_t-X_s) + X_s)=2X_s(X_t-X_s)+X_s^2$$ Acondicionado, y observando que la esperanza condicional de $X_t-X_s$ $\lambda(t-s)$ rendimientos $$\boxed{2X_s\lambda(t-s)+X_s^2}.$$

Sumar la caja expresiones da $$(X_s-\lambda s)^2 - \lambda s,$$ la que se muestra la martingala posee propiedad.