Es Spec ( $k[x_1,x_2,\ldots])$ un suave $k$ -¿esquema?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo y que $A = k[x_1,x_2,\ldots]$ . Tenga en cuenta que $A$ no es de tipo finito sobre $k$ .

Es $\operatorname{Spec} A\to \operatorname{Spec} k$ ¿un morfismo suave de esquemas?

Creo que es formalmente suave, pero no estoy seguro de que sea suave porque no es de tipo finito.

Answer 1

Los morfismos suaves son localmente de presentación finita por definición. Dado que $k[x_1,x_2,\dotsc]$ no está finitamente generada (por lo tanto, no está finitamente presentada) como una $k$ -el morfismo no es suave.

Pero es formalmente suave: Si $B$ es un conmutador $k$ -y el álgebra $I \subseteq B$ es un ideal nilpotente (de hecho, cada ideal funciona aquí), entonces cada $k$ -homomorfismo de álgebra $k[x_1,x_2,\dotsc] \to B/I$ se eleva a un $k$ -homomorfismo de álgebra $k[x_1,x_2,\dotsc] \to B$ . Esto se deduce directamente de la propiedad universal de las álgebras polinómicas (y del axioma de elección).