Supongamos que $n-3=2a+3b+4c$ donde $a,b$, e $c$ son enteros no negativos. Podemos pensar en esto como una partición de $n-3$ en partes de $\{2,3,4\}$. Si $p_1=p_2=a+b+c$, $p_3=b+c$, y $p_4=c$, el conjugado de la partición es $n-3=p_1+p_2+p_3+p_4$, con la salvedad de que $p_3$$p_4$$0$.
Vamos
$$\begin{align*}
r&=p_1+p_4+1=a+b+2c+1\;,\\
s&=p_2+1=a+b+c+1\;,\text{ and}\\
t&=p_3+1=b+c+1\;;
\end{align*}$$
claramente $r+s+t=n$, e $r\ge s\ge t\ge 1$. Por otra parte, $s+t-r=b+1>0$, por lo que hay un no-degenerada triángulo con lados de $r,s$, e $t$ y el perímetro $n$.
Ahora supongamos que $r,s$, e $t$ son los lados de un no-degenerada triángulo rectángulo con perímetro $n$ donde $r\ge s\ge t$. Vamos
$$\begin{align*}
p_1&=s-1\;,\\
p_2&=s-1\;,\\
p_3&=t-1\;,\text{ and}\\
p_4&=r-s\;.
\end{align*}$$
Claramente $p_1+p_2+p_3+p_4=r+s+t-3=n-3$, e $p_1=p_2\ge p_3$. Por otra parte, si $p_3<p_4$, $t+s<r+1$ y, por tanto,$t+s\le r$, contrario a la suposición de que el triángulo es no degenerada. Por lo tanto, $p_1\ge p_2\ge p_3\ge p_4$. Por último, vamos a
$$\begin{align*}
c&=p_4\;,\\
b&=p_3-p_4\;,\text{ and}\\
a&=p_2-p_3\;;
\end{align*}$$
entonces
$$2a+3b+4c=2p_2+p_3+p_4=p_1+p_2+p_3+p_4=n-3\;.$$
Esto establece el deseado bijection.
Por cierto, este es OEIS A005044, con varias referencias interesantes; me gustó especialmente este PDF y este uno.
