Comprensión de los cortes de rama para funciones con múltiples puntos de ramificación

Question

Mi pregunta estaba mal formulada y, por tanto, era confusa. Voy a editarla para hacerla más clara, y luego voy a dar una breve respuesta.

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Tomemos, por ejemplo, la función $$f(z) = \sqrt{1-z^{2}}= \sqrt{(1+z)(1-z)} = \sqrt{|1+z|e^{i \arg(1+z)} |1-z|e^{i \arg(1-z)}}.$$

Si restringimos $\arg(1+z)$ a $-\pi < \arg(1+z) \le \pi$ y, a continuación, la media línea $[-\infty,-1]$ debe omitirse.

Pero si restringimos $\arg(1-z)$ a $0 < \arg(1-z) \le 2 \pi$ ¿Por qué la línea media $(-\infty, 1]$ deben omitirse y no la media línea $[1, \infty)$ ?

Y si definimos $f(z)$ de tal manera, ¿cómo demostramos que $f(z)$ es continua a través de $(-\infty,-1)$ ?

$ $

La respuesta a la primera pregunta es $(1-z)$ es real y positivo para $z \in (-\infty,1)$ .

Y con respecto a la segunda pregunta, a la izquierda de $z=x=-1$ y justo por encima del eje real,

$$f(x) = \sqrt{(-1-x)e^{i (\pi)} (1-x)e^{i (2 \pi)}} = e^{3 \pi i /2} \sqrt{x^{2}-1} = -i \sqrt{x^{2}-1} .$$

Mientras que a la izquierda de $z=x=-1$ y justo debajo del eje real,

$$f(x) = \sqrt{(-1-x)e^{i (-\pi)} (1-x)e^{i (0)}} = e^{-i \pi /2} \sqrt{x^{2}-1} = -i \sqrt{x^{2}-1} .$$

Answer 1

No hay "cortes" "naturales" o "canónicos" asociados a una "función multivaluada", a pesar de mucha tradición que puede dar accidentalmente esta impresión. Más bien, lo que hacemos al decir un "corte" es restringir la(s) función(es) a un dominio ligeramente más pequeño en el que hay versiones holomorfas (y continuas) bien definidas de la función "monovaluada".

Para funciones explícitas como $\log(z)$ y $\sqrt{1-z^2}$ Entendemos los "puntos malos" (en estos casos $0,\infty$ y $\pm 1$ respectivamente). En el caso de $\log$ tenemos que evitar que hagamos un bucle alrededor $0$ que vuelve al mismo punto. En el caso de $\sqrt{1-z^2}$ Hay opciones tal vez sorprendentes. A saber, siguiendo un bucle alrededor de cualquiera de los dos $\pm 1$ invierte el signo de la raíz cuadrada. Esto es "malo". ¿Cómo evitarlo? Bueno, podemos evitar todo se mueve alrededor de los dos $\pm 1$ por cortes $(-\infty,-1]$ y $[1,\infty)$ . O corta verticalmente para $+i\infty$ de ambos $\pm 1$ Por eso

O podemos evitar simultáneamente tales cambios de signo cortando a lo largo de alguna trayectoria (no auto-intersectiva) desde $-1$ a $+1$ por ejemplo, $[-1,+1]$ . O un arco del círculo unitario que va desde $-1$ a $+1$ . Edición: para ser más claro ... el punto es que si nos limitamos a ir alrededor de ninguno, o ambos los puntos malos, los red El signo de la vuelta es ... nulo.

(Editado...) Un ejemplo más tonto, para ampliar el punto, es sobre $\sqrt{(1-z^2)(4-z^2)}$ . Aquí hay 4 puntos malos, $\pm 1,\pm 2$ . Cualquier combinación de rendijas que conectan una de ellas con otra... como $1$ -a- $2$ y $-1$ -a- $-2$ o $1$ -a- $-2$ y $-1$ -a- $2$ , hace que los cambios de signo creados por los bucles viajeros se "dupliquen", es decir, no hay cambio de signo neto, por lo tanto, una función bien definida.

La cuestión es no sobre las supuestas relaciones entre los argumentos, sino, más bien, matar lo suficiente de la homología del dominio para que bajo el Mapa de Monodromía todo lo que queda mapea a $\{1\}$ en la permutación de elementos de la función bajo continuación analítica...

Answer 2

Recomiendo el capítulo 2.3 de Ablowitz pero puedo intentar explicarlo en pocas palabras.

Dejemos que

$$w : = (z^2-1)^{1/2} = [(z+1)(z-1)]^{1/2}.$$

Ahora, podemos escribir

$$z-1 = r_1\,\exp(i\theta_1)$$ y de forma similar para $$z+1 = r_2\,\exp(i\theta_2)$$ para que

$$w = \sqrt{r_1\,r_2}\,\exp(i(\theta_1+\theta_2)/2). $$ Obsérvese que como $r_1$ y $r_2$ son $>0$ el signo de la raíz cuadrada es el viejo conocido del análisis real, así que olvídate de él por ahora.

Ahora definamos $$\Theta:=\frac{\theta_1+\theta_2}{2}$$ para que $w$ puede escribirse como

$$w = \sqrt{r_1r_2} \exp(\mathrm{i}\Theta).$$

Ahora, dependiendo de cómo elijamos el $\theta$ obtenemos diferentes cortes de rama para $w$ Por ejemplo, supongamos que elegimos ambos $$\theta_i \in [0,2\pi),$$ entonces si se dibuja un diagrama de fases de $w$ es decir, comprobar los valores de $\Theta$ en diferentes regiones del plano verás que hay una rama cortada entre $[-1,1].$ Esto se debe a que sólo más grande que $1$ y por encima de la línea real tanto $\theta$ s son $0$ por lo que $\Theta = 0$ , mientras que justo debajo de ambos están $2\pi$ por lo que $\Theta = 4\pi/2=2\pi$ lo que implica que $w$ es continua a través de esta línea (ya que $e^{i2\pi} = e^{i\cdot 0}$ ). Del mismo modo, a continuación $-1$ El mismo análisis muestra que $w$ es continua a través de $x<-1$ .

Ahora la parte $[-1,1]$ se dará cuenta de que justo por encima de esta línea $\theta_1 = \pi$ mientras que $\theta_2 = 0$ para que $\Theta = \pi/2$ por lo que $$w = i\,\sqrt{r_1r_2}.$$

Justo debajo tenemos todavía $\theta_1 = \pi$ pero $\theta_2 = 2\pi$ para que $\Theta = 3\pi/2 (= -\pi/2)$ por lo que $w = -i\,\sqrt{r_1r_2}$ es discontinua a través de esta línea. Espero que haya servido de ayuda.