¿Tener un mínimo en todas las líneas implica que la función tiene un mínimo?

Question

Sea $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ con $f \in C^k$ , $k \geq 2$ . Supongamos que $f$ tiene un mínimo local en el origen a lo largo de todas las líneas. Es decir, para todo $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ la función $g_{x, y}(t) = f(tx, ty)$ tiene un mínimo local en $t=0$ . ¿Se deduce entonces que $f$ tiene un mínimo local en el origen?

Supongo que tengo que demostrar que el hessiano de $f$ es positiva definida, pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

Sea $f(x,y)=(y-x^2)(y-3x^2)=y^2-4x^2y+3x^4$ . Entonces $f$ no tiene un mínimo local en el origen, ya que $f(0,0)=0$ pero $f(x,2x^2)=-x^4<0$ para $x\ne0$ .

Sin embargo, $f$ tiene un mínimo local en $(0,0)$ en cada línea que pasa por el origen:

a) en la línea $y=mx$ , $f(x,mx)=m^2x^2-4mx^3+3x^4=x^2(m^2-4mx+3x^2)>0$ para $x$ cerca de $0$ (pero $x\ne0$ ) desde $m^2-4mx+3x^2>0$ para $x$ cerca de $0$ .

b) en el eje y, $f(0,y)=y^2>0$ para $y\ne0$ .

Answer 2

Obsérvese que el hessiano es definido positivo si y sólo si la segunda derivada de $f$ en todas las direcciones es positiva. $$ \forall f \in C^2(\mathbb{R}^d) \forall x \in \mathbb{R}^d : \left(\operatorname{Hess}_x(f) >0 \Leftrightarrow \forall v \in \mathbb{R}^d : \partial^2_t f(x+t v)>0\right) $$

Sin embargo, que el hessiano sea positivo en un punto crítico es suficiente pero no necesario para un mínimo local.