¿Es posible que $a_n>0$ y $\sum a_n$ converge entonces $na_n \to 0$ ? (sin asumir $a_n$ es decreciente)

Question

¿Se puede demostrar que : Si $a_n>0$ y $\sum a_n$ converge entonces $na_n \to 0$ (sin asumir $a_n$ es decreciente)

Tenga en cuenta que esta pregunta no requiere $a_n$ para ser decreciente como condición, ¿Es posible demostrar $na_n \to 0$ sin requerir $a_n$ ¿se está reduciendo? Sigo pensando que $a_n>0$ y $\sum a_n$ convergente entonces eso implica que $a_n$ debe ser decreciente de todos modos (no necesariamente monótonamente decreciente)

¿Es posible que $a_n>0$ y $\sum a_n$ converge entonces $na_n \not \to 0$ ?

Hay preguntas ya contestadas que suponen $a_n$ para ser decreciente como requisito: (esta pregunta no supone $a_n$ es decreciente)

Si $(a_n)$ es una secuencia decreciente de números estrictamente positivos y si $\sum{a_n}$ es convergente, demuestre que $\lim{na_n}=0$

Demostrar que si $\sum a_n$ converge, entonces $na_n \to 0$ .

Este fue el post que me hizo plantear esta pregunta, un contra ejemplo de decrecimiento monotonoico de $a_n$ se dio en los comentarios del OP.

Answer 1

Por ejemplo, intente $$a_n = \cases{ 1/n & if $ n $ is a power of $ 2 $\cr 2^{-n} & otherwise} $$