Inusual resultado de la adición

Question

Pregunta: Demostrar que

(666... a n dígitos)^2 + (888... a n dígitos)=(444... a 2n dígitos)

A mi manera: me lo acaba de probar que la ecuación dada para tres valores de n y escrita en la parte inferior.

"Dado que la ecuación se satisface para n=1, 2, y 3, la ecuación es verdadera y, por tanto, demostrado."

También estoy viendo un patrón regular en (6666...a n dígitos)^2 $666^2=443556,6666^2=44435556,66666^2=4444355556$ Así, el patrón es la primera hay (n-1) $4's$ la $3$, entonces (n-1) 5 la 6.

Es allí una manera general para resolver esta cuestión?

Answer 1

Sugerencia: $n$ dígitos de $6$ es igual a $$ \left(6\left(\frac{10^n-1}{9}\right)\right)^2 = \frac{4}{9}(10^n-1)^2 = \frac{4}{9}(10^{2n}-2\cdot 10^n+1).$$ Aplicar una transformación similar a la de término con $8$'s, y luego ver si se puede simplificar la suma.

Answer 2

Pregunta: Demostrar que

$(666\dots \text{to $n$ digits})^2 + (888\dots \text{to $$n > dígitos})=(444\dots \text {$2n$ dígitos})$

Dividiendo por $4$, esto es equivalente a

\begin{align} (333\dots \text{to %#%#% digits})^2 + (222\dots \text{to %#%#% digits}) &=(111\dots \text{to %#%#% digits}) \end{align} Deje $n$n$n$. Entonces \begin{align} (3x)^2+2x&=x\cdot 10^n+x \\ 9x^2+2x&=x\cdot 10^n+x \\ x(9x+2)&=x\cdot 10^n+x \\ x(9x+1+1)&=x\cdot 10^n+x \\ x(10^n+1)&=x\cdot 10^n+x. \end{align}

Answer 3

Cada vez que inicio con $66^2$ agrega otro 4 para el comienzo y cinco entre los 3 y 6. Además, el número de ochos es la mitad de la longitud de $6666...^2$.

Si este patrón continúa, hay (n-1) 4, una de tres, (n-1) a cinco, y finalmente un seis. Debido a que usted agregue n 8, el número se convierte en el n 4.