El último Dígito de la $x^0 + x^1 + x^2 + \cdots + x^{p-1} + x^p$

Question

Dado $x$$p$. Encontrar el último dígito de la $x^0 + x^1 + x^2 + \cdots + x^{p-1} + x^p$

Necesito una fórmula general. Puedo encontrar que la suma es igual a $\dfrac{x^{p+1}-1}{x-1}$
Pero ¿cómo encontrar el último dígito.

P. S: $x\leq 999999$ $p \leq 10^{15}$

Answer 1

Suponiendo que $x>0$.

Deje $d$ denotar el último dígito de la serie.

Se puede dividir la respuesta en $10$ diferentes casos.

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Los siguientes casos son bastante sencillos:

• $x\equiv0\pmod{10} \implies d=1$
• $x\equiv1\pmod{10} \implies d=(1+p)\bmod{10}$
• $x\equiv4\pmod{10} \implies d=1+4(p\bmod{2})$
• $x\equiv5\pmod{10} \implies d=1+5(p\bmod{2})$
• $x\equiv9\pmod{10} \implies d=1-1(p\bmod{2})$

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Los siguientes casos son un poco más complicadas:

• $x\equiv2\pmod{10} \implies d=\frac{-4(p\bmod{4})^3+15(p\bmod{4})^2-5(p\bmod{4})+3}{3}$
• $x\equiv3\pmod{10} \implies d=\frac{+1(p\bmod{4})^3-9(p\bmod{4})^2+17(p\bmod{4})+3}{3}$
• $x\equiv6\pmod{10} \implies d=\frac{-5(p\bmod{5})^4+40(p\bmod{5})^3-100(p\bmod{5})^2+83(p\bmod{5})+3}{3}$
• $x\equiv7\pmod{10} \implies d=\frac{+1(p\bmod{4})^3-15(p\bmod{4})^2+35(p\bmod{4})+3}{3}$
• $x\equiv8\pmod{10} \implies d=\frac{+11(p\bmod{4})^3-54(p\bmod{4})^2+67(p\bmod{4})+3}{3}$

Answer 2

Nosotros nos encargaremos mod 5 y mod 2. Vamos a suponer $p > 2$.

Mod 2, tenemos $x^i \equiv x$ todos los $i$, a excepción de $x^0$. Por lo tanto, la paridad de la suma es el mismo que el de enfrente de la de $x$ [a menos $p=2$].

Mod 5: si $x \equiv 0 \pmod{5}$, entonces el resultado es cierto para ser $1$ mod $5$. De lo contrario, $x^4 \equiv 1 \pmod{5}$, por lo que sólo tenemos un montón de expresiones $1+x+x^2+x^3$ suman todos juntos, esto es, $4$ si $x \equiv 1 \pmod{5}$, e $0$ lo contrario.

Por lo tanto:

• Si $x$ $0$ mod 5, el resultado es 1 mod 5.
• Si $x$ no 1 mod 5, obtendremos $1+x \pmod{5}$ si $p$ $1$ mod 4, y $1+x+x^2+x^3 = 0$ si $p$ $3$ mod 4.
• Si $x$ es 1 mod 5, obtendremos $-(p-1)/4 + (1+x) \pmod{5}$ si $p$ $1$ mod 4, y $-(p+1)/4 \pmod{5}$ si $p$ $3$ mod 4.

Estas juntas son suficientes para armar la respuesta.

Answer 3

Deje $s = \sum_{k=0}^{p}x^k$. Calcular el $0 \leq a_1, a_2 < 5$, donde $$ a_1 \equiv s \pmod 2 \\ a_2 \equiv s \pmod 5 $$

$a_1$ es fácil. Si $x \equiv_2 0$,$a_1 = 1$, otra cosa $a_1 \equiv_2 (1+p)$, porque es $1 + 1^1 + 1^2 + 1^3 + \dots + 1^p$.

$a_2$ no es más difícil, $x \equiv_5 0, 1$ son los mismos. Para $2, 3, 4$ usted puede fácilmente observar la regularidad. Por ejemplo. $$ x \equiv_5 2 \Longrightarrow\\ s \equiv_5 1 + 2^1 + 2^2 + \puntos + 2^{p} \equiv_5 \\ 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 2^{p} \equiv_5 \\ 1 + 2 + 4 + 3 + 1 + 2 \puntos + 2^{p} \equiv_5\\ (1 + 2 + 4 + 3) + 1 + 2 \puntos + 2^{p} \equiv_5\\ 2 \cdot 5 + 1 + 2 \dots + 2^{p} $$

Si conoces $a_1, a_2$ puede utilizar el teorema del resto Chino, para calcular el número de $r \equiv_{10} s$ y el último dígito.