Una buena substitución para probar $\frac{f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)}{g(b)-g(a)-(b-a)g'(a)}=\frac{f''(c)}{g''(c)}$.

Question

Deje $f'(x)$ $g'(x)$ satisfacer la hipótesis de la media del teorema del valor, demostrar que

$$\frac{f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)}{g(b)-g(a)-(b-a)g'(a)}=\frac{f''(c)}{g''(c)}$$

donde $g''(c)\neq 0$. He probado varias cosas como Cauchy MVT con $f'(x)$$g'(x)$, sustituyendo $h(x)=\dfrac{1}{g'(x)}$ ,$h(x)=f'(x)+\dfrac{a}{g'(x)}$ donde $a\in\mathbb{R}$, pero no llevan a ninguna parte. Cualquier ayuda será apreciada. Por favor, tenga en cuenta que estoy permitido el uso de sólo Cauchy del MVT, LMVT y Rolleteorema.

Answer 1

Vamos $$ k=\frac{f(b)-f(a)-(b-a)f'(a)}{g(b)-g(a)-(b-a)g'(a)}. $$ Definir $$ F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)f'(a)-k[g(x)-g(a)-(x-a)g'(a)]. $$ Entonces $$ F(a)=0, F(b)=0. $$ Por el Teorema de Rolle, existe $\xi\in(a,b)$ tal que $F'(\xi)=0$, es decir, $$ f'(\xi)-f'(a)-k[g'(\xi)-g'(a)]=0$$ desde que uno tiene $$ k=\frac{f'(\xi)-f'(a)}{g'(\xi)-g'(a)}.$$ Por Cauchy Teorema, no es $c\in(a,\xi)$ tal que $$ k=\frac{f'(\xi)-f'(a)}{g'(\xi)-g'(a)}=\frac{f''(c)}{g''(c)}.$$ Hecho.