Encuentre todas las funciones tales que $\int f(x)g(x) dx =\left(\int f(x) dx\right)\left(\int g(x) dx\right)$

Question

¿Es posible encontrar todas las funciones tales que $$\int f(x)g(x) dx =\left(\int f(x) dx\right)\left(\int g(x) dx\right)$$ ?

Mi profesor nos pidió que diéramos ejemplos para demostrar que esto no es cierto, pero tenía curiosidad por saber qué funciones no triviales satisfacen esto. ¿Alguna idea de cómo resolverlo?

¡Gracias!

Answer 1

Dejemos que $F(t) =\int f(t)dt , G(t) =\int g(t)dt $ entonces la ecuación se convierte en $$\int f(t) g(t) dt = F(t) G(t) $$ y después de la diferenciación $$F' G' =F'G+G'F $$ y por lo tanto $$1=\frac{G}{G' } +\frac{F}{F'} $$ si se toma por ejemplo $$G(t) =\ln t $$ entonces se obtiene $$1=\frac{\ln t}{\frac{1}{t} } +\frac{F}{F'} $$ por lo que $$\frac{F}{F'} =1-t\ln t$$ por lo que $$\ln F(t) = \int \frac{1}{1-t\ln t} dt$$ así $$F(t) =e^{\int \frac{1}{1-t\ln t} dt}.$$ Así que hay un montón de parejas $(f,g) $ de funciones que satisfacen esta ecuación.