Probar que las siguientes son isomorfos como los grupos, pero no como los anillos

Question

1. $\mathbb{Z}$ $\mathbb{2Z}$

Mi solución: Para demostrar que son isomorfos como grupos, me tome la asignación de $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{2Z}$ definido por $f(x)=2x$. Puedo demostrar que es un homomorphism y surjective y estoy hecho.

Para demostrar que no son isomorfos como anillos, me tome la ecuación de $x^2=1$. Tiene soluciones $x=1,-1$$\mathbb{Z}$, pero no hay soluciones en $\mathbb{2Z}$ y son, por tanto, no isomorfos.

2. $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ $\mathbb{Z}[\sqrt5]$

Mi solución: Para demostrar que son isomorfos como grupos, me tome la asignación de

$f: \mathbb{Z}[\sqrt2] \rightarrow \mathbb{Z}[\sqrt5]$ definido por $f(a+b\sqrt2)=a+b\sqrt5$. Puedo demostrar que es un homomorphism y surjective y estoy hecho.

Aquí, para demostrar que no son isomorfos como anillos, me tome la ecuación de $x^2=2$, que tiene soluciones de $x=\sqrt2, -\sqrt2$$\mathbb{Z}[\sqrt2]$, pero no hay solución en $\mathbb{Z}[\sqrt5]$.

Es esta la manera correcta de acercarse a probar que no isomorfismo como anillos? Que una ecuación tiene una solución en un anillo, pero no en otro?

Answer 1

Por Definición, un anillo homomorphism $f: R \rightarrow R'$ debe preservar la suma y la multiplicación y debe mapa de la identidad multiplicativa de $R$ a la identidad multiplicativa de $R'$. En tu ejemplo, el anillo de $R'=2\mathbb{Z}$ no tiene una identidad multiplicativa. Así que los dos anillos no son isomorfos (no hay isomorfismo, o incluso un homomorphism de un aro a otro, para que la materia).

Para mostrar que los anillos de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ son no isomorfos, usted puede utilizar su idea de que $x^2=2$ no tiene solución en el último anillo. Pero es necesario justificar por qué este método funciona. Aquí es una prueba. Supongamos que existe un isomorfismo $f$ entre estos dos anillos que lleva $a+b\sqrt{2}$$a'+b'\sqrt{5}$. Desde $f$ debe tomar la identidad a la identidad, $f$ tarda de 1 a 1' (1' es la identidad en el segundo anillo, y en realidad es igual al entero 1; los números primos son sólo para hacer las cosas más claras). Desde $f$ conserva sumas, $f$ debe tomar $1+1$$1'+1'$. Ahora, $(0+1 \sqrt{2})(0+1\sqrt{2}) = 1+1$ en el primer anillo. Podemos aplicar el $f$ a ambos lados. Desde $f$ conserva sumas y productos, se obtiene la ecuación de $(x'+y'\sqrt{5})^2 = 2$ donde $x'+y'\sqrt{5}$ es la imagen de $(0+1\sqrt{2})$ bajo $f$. Esta ecuación no tiene soluciones, y así obtenemos una contradicción. Por lo tanto, no existe un isomorfismo $f$ desde el primer anillo de la segunda.