Demostrando que $x\ast y = f^{-1}(f(x)+f(y))$ define un grupo de operación.

Question

Yo no estaba seguro de cómo este título; sería demasiado detallada o no lo suficientemente detallada.

Así que tengo un intervalo de $I$ $\mathbb R$ $f : I \rightarrow \mathbb R$ es un bijection. También, $\forall x,y \in I$, $x*y=f^{-1}(f(x) + f(y))$

Quiero demostrar que la $(I,*)$ es un grupo. Mi confusión es el hecho de que yo no sé cuál es la función que realmente es. Por ejemplo, a la hora de encontrar el elemento neutro:

Quiero encontrar a una $e\in I$ tal que $\forall x\in I$, $x*e = e*x = x$

Esto significa que quiero encontrar a una dirección de e tales que $f^{-1}(f(x) + f(e)) = x$

Lo que significa que necesito encontrar una dirección de e tales que $f(e) = 0$

pero ya no sé cuál es la función que realmente es, yo no puedo hacer eso.

Yo también estaba pensando que tal vez podría probar que $f$ es un isomorfismo, demostrar que $(\mathbb R, *)$ es un grupo, y por lo tanto así es $(I,*)$, pero creo que eso no es posible. ¿Cómo debo ir acerca de este problema? Gracias.

Answer 1

Lo que tenemos aquí es algo que se llama la Transferencia de la estructura.

Si usted tiene una estructura algebraica $A$ (semigroup, de grupo, anillo, campo, etc), un conjunto $X$, y un bijection $f\colon X\to A$, siempre se puede usar la $f$ definir la misma estructura algebraica en $A$ mediante $f$ a identificar los elementos de $X$ con elementos de $A$, y el que hay, y el uso de $f^{-1}$ para obtener la respuesta $X$.

En esencia, es como si usted tiene la estructura escrito en ruso, $X$ está en inglés, y se utiliza $f$ a traducir los nombres de los elementos de $X$ al ruso; claramente, si la operación se forma un grupo de/del anillo/campo/módulo/monoid/de celosía/lo que sea en ruso, luego lo hará en inglés. Expliclty, si $\mu$ $n$- ary operación $A$, definir la operación $\mu_X$ $X$ por $$\mu_X(x_1,\ldots,x_n) = f^{-1}\Bigl(\mu\bigl(f(x_1),\ldots,f(x_n)\bigr)\Bigr).$$ A continuación, $\mu_X$ va a heredar todas las propiedades necesarias de $\mu$. Todo lo que están haciendo es usar $f$ a "traducir" de$X$$A$, donde usted ya sabe que las cosas son "agradable".

Aquí, usted tiene un grupo de $\mathbb{R}$ bajo la suma, y un bijection de su conjunto $I$$\mathbb{R}$. Definir una operación en $I$ por "tomar los elementos de a$\mathbb{R}$$f$, operar con ellos en $\mathbb{R}$, y, a continuación, utilizar $f$ a traducir de nuevo la respuesta en $I$."

Ir a través de los detalles solo requiere un poco de atención.

Por ejemplo, el hecho de que su operación es asociativa se puede hacer de la siguiente manera: dado cualquier $x,y,z\in I$, sabemos que $$f(x) + \bigl( f(y)+f(z)\bigr) = \bigl(f(x)+f(y)\bigr) + f(z).$$ Para mostrar que $x*(y*z) = (x*y)*z$, tenemos: \begin{align*} x*(y*z) &= f^{-1}(f(x)+f(y*z))\\ &= f^{-1}(f(x) + f(f^{-1}(f(y)+f(z))))\\ &= f^{-1}(f(x) + (f(y)+f(z)))\\ &= f^{-1}((f(x)+f(y))+f(z))\\ &= f^{-1}\Bigl( f(f^{-1}(f(x)+f(y))) + f(z)\Bigr)\\ &= (f^{-1}(f(x)+f(y))) * z\\ &= (x*y)*z. \end{align*} Del mismo modo, la inversa de a $x$ $f^{-1}$- imagen de la inversa de $f(x)$; el elemento neutro será el $f^{-1}$-imagen del elemento neutro, etc.